35 SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 347 



Il numero delle famiglie distinte è dato dunque in generale dal numero delle 

 serie fondamentali. Queste serie risultano come è evidente, dalla divisione per 2 di 

 un gruppo G -4- 2X. Siccome la serie | G -j- 2X\ è non speciale, e il suo ordine è 

 ;> 2tt, cosi, (n° 3), esisteranno 2 2jr serie lineari derivanti dalla divisione per 2 di G, 

 onde, come già sappiamo, si ritrovano 2 2jr famiglie. 



Qui è necessaria un'osservazione. L'ordine di G -4- 2X, se p è il genere di C, 

 risulta eguale a 2(p — 2tt -4- 1)-|- 4tt — i = 2p — 2, come era del resto noto dal n° 4. 

 L'ordine di una delle serie cercate è quindi p — 1; e perciò, se G esiste, essendo 

 per la formola di Zeuthen p — 1 > 2it — 1, questa serie sarà non speciale, e quindi 

 sarà una g v ~\~ 1 come difatti dev'essere, perchè essa sia una serie fondamentale. 

 Ma se G non esiste è precisamente p — 1=2tt — 2, e le serie che cerchiamo risultano 

 dal dividere per 2 la serie 1 2X\ ; onde una di esse sarà la serie canonica g%~}. 2 = g^Zi, 

 e la sua dimensione non corrisponde a quella di una serie fondamentale. Ciò dipende 

 dal fatto che i ragionamenti di questo §, poiché in essi comparisce la serie canonica 

 di C. si riferivano a curve irriducibili e che in questo caso si hanno 2 2jT — 1 famiglie 

 di tali curve (n° 3), tante appunto quante sono le serie trovate, non speciali. 



§ 3. Relazione tra il gruppo di diramazione apparente e la serie fon- 

 damentale relativi a una medesima curva doppia di genere ir. 



6. — Il problema che ci proponiamo in questo § è perfettamente analogo a 

 quello trattato al § 7 della l a Parte ; tuttavia converrà sviluppare per esteso il 

 ragionamento ad esso relativo, perchè qualcuna delle sue parti presenta differenze 

 abbastanza notevoli, dipendenti principalmente dal fatto che sopra una generica 

 curva f = di genere tt, le curve d'ordine arbitrario, non segano serie complete. 



Supponiamo pertanto di assumere un intero l così grande : 



1° Che la serie lineare segata su f da tutte le curve d'ordine l soddisfi alle 

 condizioni poste al n° 3 ; 2° Che esistano le 2 2n serie V originate dalla divisione 

 per 2 di quest'ultima serie e contengano parzialmente la serie canonica |Xj, di guisa 

 che sia 



r == r + x. 



Per le ipotesi sopra fatte ci saranno in ciascuna delle serie suddette dei gruppi T 

 tali che esisterà una curva R (xij) = 0, segante f in G -f- 2V = G -\- 2V -4- 2X, e 

 le equazioni 



(3) f(a») = z* = R{xy), 



definiranno una curva doppia C, rappresentata su f coi gruppi G, F", appartenente ad 

 una famiglia arbitrariamente prefissata. 



Sia ora J un integrale abeliano di l a specie di/ 1 coi periodi 1^, w 2 , ..., \u27t, e 

 diciamo I la somma dei valori ch'esso assume nei punti di G, Y la somma relativa 

 a un gruppo della serie individuata da una sezione rettilinea di f, Z la somma rela- 

 tiva a un gruppo canonico. È chiaro che le 2 2jr serie fondamentali relative a G son 

 caratterizzate dalle somme 



i + Z+s, 



