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s essendo una qualunque delle 2 ìn somme di semiperiodi trovate al n° 2. Inoltre 

 le 2- 71 serie V precedentemente fissate son caratterizzate dalle somme 



lY-i + s, 



e quindi le serie \V'\ = | T — X \ son caratterizzate dalle somme 



lY-ì-Z+s. 



Supponiamo ora che il gruppo T relativo alla curva (3) vari entro la serie 



(4) IY-J- + S, 



s essendo una determinata somma di semiperiodi: dico che allora la serie fonda- 

 mentale, relativa alla stessa curva, corrisponde alla somma 



(5) 4+Z+s, 



s essendo la medesima somma di semiperiodi e reciprocamente. 



Infatti allora la somma dei valori di J relativa a |T — X-\- T\ = f I - ' — ] — T\, 

 T essendo un gruppo della serie (5), è congrua a IY e quindi, il gruppo V'-\-T relativo 

 alla curva (3) è equivalente al gruppo K segato su f da una curva T{xij) = 0, d'or- 

 dine l. Allora la funzione 



T 

 che è uniforme sulla curva considerata, ha come gruppo degli zeri il gruppo D + 1~* 

 dove D è il gruppo dei punti doppi della Ya e P* il gruppo composto colle Ts tras- 

 formato di T ; e come gruppo dei poli il gruppo K* trasformato di K; si ha quindi 



d + r* = e*. 



Ora è 



r = r'-fX, K=V^-T, 

 e quindi si avrà 



r* == p* _j_ x *, x* = r* + t*, 



con ovvio significato di I"*, X*, T*. Da ciò e dalla prima relazione scritta segue 



D + X* = T*, 



onde T s sarà un gruppo canonico ; ne concludiamo che T appartiene alla serie fon- 

 damentale. — Reciprocamente se C ammette una rappresentazione [G\ T\], dico che C 

 è birazionalmente identica ad una curva C" la quale si può rappresentare su f col 

 gruppo di diramazione apparente I", appartenente alla serie (4). Difatti poiché T-f-P 

 è equivalente al gruppo segato da una curva d'ordine l, ed è per ipotesi 2 !F= G + 2X, 

 cioè 2T-4- 2P = G -\- 2X + 2f, si potrà trovare un gruppo V = r'-\-X, tale che 

 sia segato da una curva S(xy) = d'ordine 21. Allora la curva C data dalle formole 



f(xy) = 0, z*=S{xy), 



sarà rappresentata su f coi gruppi G, V, e quindi ammetterà una rappresentazione 

 [G, \T\]. Ma allora C e C ammetteranno una rappresentazione su f colla medesima 

 serie fondamentale, e quindi saranno birazionalmente identiche. 



7. — Adunque se l è abbastanza grande, indicando con B un gruppo segato 

 su f da una retta del piano, varrà la relazione 



