37 SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 349 



\r + T\ = iB\, 



cioè la 



(6) |r + r-x|=|i.B|. 



Estendiamo ora questa relazione ad l qualunque. Sia perciò 



(7) f(*y) = 0, z* = S{xy), 



un'altra coppia di equazioni della curva C, S = segando f in G -f- 2f'. Poiché le 

 equazioni (3), (7) rappresentano la medesima curva, i gruppi I", V" saranno conte- 

 nuti uno nell'altro. Escludiamo che V contenga l~, perchè allora l'ordine della curva 

 £ = sarebbe maggiore di quello della B = 0, e quindi " a fortiori „ sarebbero 

 verificate le condizioni che ci hanno condotto al precedente risultato, e sia invece V" 

 contenuto in l~. Allora se 21' è l'ordine di S = 0, sarà 



r = r"-f(z— V)B, 



da cui sostituendo nella (6) 



• \r" + (l — V)R + T—X\ = \lR\, 

 cioè 



(8) \Y" + T—X\ = \VB\. 



Reciprocamente se vale la (8) confrontandola . colla (6) si dedurrà che r = V" -j- 

 -\-(l — l') B, onde i gruppi l~, T" si conterranno nel modo indicato al n° 1, e quindi 

 le equazioni (3), (7) rappresenteranno la medesima curva, la cui serie fondamentale 

 sarà perciò T. 



Adunque la relazione (6) risponde al problema da cui prende il titolo questo §; 

 essa ci permette dato T di determinare T, costruendo la serie residua di [ V | rispetto 

 a [ l'R -j- X\ ; reciprocamente | V | si può ottenere come residua di j T\ rispetto a | l'B -f- -^1- 

 Notiamo però che mentre, dato T è dato anche l'ordine l della curva B rr 0, dato 

 invece T, perchè T esista bisognerà scegliere un intero l in modo che la serie 

 \lB-\-X\ contenga parzialmente | T\, e di più sarà necessario, che esista una 

 effettiva curva B = la quale seghi f in G -j- 2r, essendo j V \ = 1 1 B + X — T\. 



Da ciò segue un enunciato analogo a quello dato al n° 18 della l a Parte, e 

 che si ottiene da esso colle convenienti modificazioni suggerite dalle note differenze 

 che si hanno tra i due casi, e dall'osservazione ultimamente fatta. Applicazioni con- 

 crete di questo enunciato a studi particolari del genere di quelli del § 8, presen- 

 tano gravi difficoltà, mancando sopra una curva di genere qualunque la conoscenza 

 dei possibili gruppi di trasformazioni birazionali, e in ogni caso, difettando esse 

 della comoda rappresentazione mediante gl'integrali che si ha nel caso ellittico. — 



§ 4. Cenno sopra le superficie di Riemann 

 distese sopra una superficie doppia di genere n. 



8. — Sia data una superficie di Riemann F di genere ti (ad esempio un disco 

 con ti fori), e sia B (xy) un polinomio, funzione uniforme del punto x, y variabile su F; 

 è chiaro, come al n° 22 della l a parte, che se si considera la funzione a due valori 



