350 ANNIBALE COMESSATTI — SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 38 



)/R, questi due valori subiranno una certa sostituzione (la (1, 1) o la (1, 2)) quando 

 su f si descriva un circuito chiuso, e che questa sostituzione sarà determinata dando 

 il gruppo di diramazione G del radicale, ed un sistema di 2ir circuiti fondamentali 

 (formanti un sistema di retrosezioni di F), colle sostituzioni ad essi relative. 



Dopo ciò risulta facilmente come condizione d'identità birazionale tra due curve 

 C, C, i cui punti rispondono ai valori di due radicali \/R, j/S aventi lo stesso 67, 

 quella dell'esistenza di una trasformazione t di F che muti in sé 67 e muti un cir- 

 cuito chiuso che eseguisce una certa sostituzione sui valori di [/R, in un circuito che 

 eseguisca sui valori di yS la medesima sostituzione. 



Nel caso più generale che sia t = 1 si hanno conclusioni analoghe a quelle del 

 n° 23 (parte l a ); indicando con o^, (3 lT cu, (3 2 , ..., a^, $ n i 2it circuiti fondamentali, con 

 Si,t 1 ,s 2 ,t ì ,...,s J r,tjr, le sostituzioni relative ad essi ed a |/R, con o 1 ,r 1 , c r 2,T 2 ,...,o'j r ,Tj r 

 quelle relative a |/5, la condizione d'equivalenza birazionale di C, C risulta espressa 

 dalle eguaglianze 



Sì = Gì; U = ^ (i = 1, 2, .'.. , tt); 



in modo che il numero delle famiglie distinte, viene eguale a quello delle disposi- 

 zioni con ripetizione a 2rc a 2tc dei due elementi (1, 1) ed (1, 2), cioè risulta, come 

 sappiamo, 2 2jr . Se manca 67 e le s { , U coincidono tutte con (1, 1) la curva corrispon- 

 dente è riducibile, e ci riduciamo a 2 2jr — 1 famiglie (*). 



9. — Supponiamo ora che tra i 2tt circuiti prescelti, a, , fo siano quelli che for- 

 mano la i-esima retrosezione, relativa ad un certo foro F t , scelto tra i n fori F x , 

 F 2 , ..., F n del disco che si è preso come modello di F. 



Una curva algebrica C rappresentata doppiamente su F, possiederà un certo G 

 e sarà coordinata ad un sistema di sostituzioni s lt t x , s 2 , t s , ... , Sjt, t^, relative 

 ordinatamente ai circuiti a x , f^, a 2 , (3 2 > •••> a jr, Ptt- La costruzione della superficie di 

 Riemann relativa a C non offre alcuna difficoltà; a tale scopo si segnino dapprima 

 su F due linee tali che ogni circuito tracciato sulla superficie così ostacolata pro- 

 duca la sostituzione identica ; basterà seguire una via perfettamente analoga a quella 

 del n° 24 (P e l a ) operando sulle coppie a t , &, come ivi si è operato su a, fi. Dopo 

 ciò la questione si esaurisce subito mediante due superficie F, F' infinitamente vicine, 

 tagliate lungo le linee già eseguite e congiunte tra loro lungo i bordi di siffatti 

 tagli. Non tralascieremo di osservare, che anche qui come al n° 24, il teorema di 

 esistenza delle funzioni algebriche uniformi sopra un'arbitraria superficie di Riemann 

 dà una riprova dell'esistenza effettiva dei 2 2n tipi distinti di curve rappresentabili 

 doppiamente su G. 



Non ci dilunghiamo più oltre a parlare del problema generale intorno alla ridu- 

 cibilità del numero suddetto, nei casi in cui la t del n° precedente non è identica, 

 trattandosi di una pura estensione di ciò che si è detto al n° 25 della l a Parte. 

 Padova, 24 febbraio 1909. 



(*) È questo il numero trovato da Hurwitz, loco cit. 



