5 SOPRA I MOTI VIBRATORI ARMONICI SEMPLICI E SMORZATI, ECC. 481 



Le vibrazioni ora considerate, che diremo semplici, generalmente parlando non 

 soddisfano separatamente alle equazioni del moto elastico, supposto che si abbia: 



h =t= k =1= 0. 



Supponiamo ad esempio che in tutto S debbasi avere: 



u, v, tv = 0. 



Dal sistema (I) consegue che le funzioni X, Y, Z, X, Y, Z soddisfano al sistema: 



(5) (« 2 - &*) £(4J + 4£ + "ir) + * 2 A 2 X+ (A» - A*)X+ 2h*kX= 0. 



Inoltre si ha: 



X Y Z 



« = "7TTJ7- ; » = Trnrr- ; W ■ 



2h 2 k ' — 2h*k ' ~ 2A 2 & ' 



Concludiamo perciò: 



Se un mezzo elastico isotropo è sollecitato da forze di massa nulle o di tipo armo- 

 nico smorzato (di egual frequenza e di egual coefficiente di smorzamento delle forze di 

 massa), allora in esso si genera una vibrazione composta, generalmente parlando, di due 



vibrazioni semplici in differenza dì fase -^ . 



a 



Le equazioni (5) a cui devono soddisfare le forze di massa, affinchè la vibrazione 

 generata nel mezzo sia semplice e inoltre si supponga: 



b? = k; X=Y=Z=0 



possono essere interpretate nel seguente modo : 



Dato un corpo elastico isotropo il quale per date tensioni superficiali e non sol- 

 lecitato da forze di massa resti in equilibrio, quando ai suoi punti si diano gli spo- 

 stamenti u, v, w, se ai suoi elementi si applicano delle forze eguali ai suddetti spo- 

 stamenti moltiplicati per un fattore: 



e - *' costa 



e si suppone che le tensioni superficiali pure vengano moltiplicate per lo stesso 

 fattore; la vibrazione che viene generata nel dato mezzo è semplice e di tipo armo- 

 nico smorzato. Le sue componenti sono poi : 



e - *'cosW r \ 



(u, V, w) . 



2fc 2 



2. — Le forze di massa, e le tensioni superficiali capaci di generare in un 

 mezzo elastico isotropo delle vibrazioni di tipo smorzato sono dunque del tipo seguente: 



e ->> ! '(.X" cos ta-j-X senta, Y cos kt -f- Y senkt, Zcoskt -f- Zsenkt) 

 e- m {L costa + L senta, Meoskt -f Msenkt, N cos kt + JVsenta). 



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