482 EBNESTO LAURA 6 



In queste espressioni le X Y Z , . . . , L , . . . , N, che sono funzioni delle sole 

 coordinate, possono in parte essere nulle. Non possono invece essere nulle tutte contem- 

 poraneamente. È questo un risultato che sarà dedotto analiticamente dai sistemi I e II. 

 Meccanicamente questo teorema è semplice conseguenza del fatto che: le vibrazioni 

 libere di un mezzo elastico (vibrazioni generate solo dalle condizioni iniziali di defor- 

 mazione e velocità, e supposte quindi nulle sia le forze di massa che le trazioni 

 superficiali) non possono essere di carattere smorzato. 



— Le equazioni (I) possono essere poste sotto la forma seguente: 

 (a 2 — è 2 ) a(9 + *' 5) + ò 2 A 2 (ti + hi) + (k + ih*)* {u + tu) + X — iX= 

 (Ws)\ (a 2 - & 3 ) 9(8 + f&) + & 2 A 2 (« + iv) + (* + e7> 2 ) 2 (« + iv) + 7 - »Z = 

 ( a 2 _ ò ») 9(e + <») _)_ è 2 a 2 («, _j_ ì w ) -f- (jfc + zVt 2 ) 2 (te + iti;) -f £ - iZ = 



che può essere utile per l'integrazione effettiva delle equazioni stesse ( J ). 

 Così pure alle equazioni in superficie possiamo dare la forma seguente: 



(II bis) -(L- iL) = ¥ d -^P^ 4- (a 2 - 2è 2 ) (9 + ») ^ + i= f^^ ^ + 



' p v ' à» 0» ' \ Ox) bn ' 



■ &(«+*») di/ | d(w + «'w) òz 



da; rh« 





e due equazioni analoghe. 



Sia nelle (I bis) che nelle (II bis) si dovrà pensare separata la parte reale dalla 

 immaginaria, e inoltre notare che le u, v, ..., w sono funzioni reali delle coordi- 

 nate x, y, z. 



Supponiamo le forze di massa nulle ; dalle (I bis) dedurremo allora subito un 

 sistema di equazioni a cui soddisfano le 6, 9. Basterà sommare le (I bis), dopo 

 averle derivate rispettivamente rispetto a x, y, z; si perviene per tal modo alla 

 equazione: 



(6) a 2 A 2 (9 + i 9) -f (k 4- z'/i 2 ) 2 (6 + i $) = . 



(') Alla forma qui data alle equazioni (I) (II) si giunge direttamente facendo nelle equazioni 

 del moto elastico le posizioni: 



jj = e (-h?+ih)t („ _|_ iw ) 



V = e (— * s +»*)< (v -f- iv) 

 W=e(-'' 1 +^(w+iw) 



e supponendo le forze di massa e le tensioni superficiali di componenti rispettivamente : 



e(-* J +^)« (X — iX, Y—ÌY, Z—iZ) 

 e (-h"-+ik)t( L —iL, M-iM, N—iy). 



