7 SOPRA I MOTI VIBRATORI ARMONICI SEMPLICI E SMORZATI, ECC. 483 



Essa si scinde poi nelle due equazioni: 



i a 2 A 2 e ■+ (& 2 — A*) 9 — 2M 2 £ = 



(7) 



( « 2 A 2 9- + 2M 2 9 + (& 2 — 7i 4 ) 3- = 



che costituiscono il sistema richiesto. Conviene in generale lasciare scritte le (7) 

 nella forma dell'unica equazione (6), per l'analogia che quest'equazione ha con la 

 ben nota: 



a 2 A 2 <p -f Fcp = . 



Dalle equazioni (7) si deduce poi che la 9 e la * soddisfano all'unica equa- 

 zione di 4° ordine: 



(8) a 4 A 4 9 -f 2{k 2 — A 4 ) ff 2 A 2 9 -f- (F -f A 4 ) 2 9 = 



ricavata dalle (7) eliminando 9, o 3-. 



Analogamente si ricava dalle (I bis) che le u-{-iu, ... soddisfano all'equazione: 



(9) [a 2 A 2 + (* + i/* 2 ) 2 ] [è 2 A 2 + (k +. * 2 ) 2 ] (u + iu) = , 



ossia le w, », ... soddisfano ad un sistema di due equazioni del 4° ordine ottenute 

 dalla (9) separando la parte reale dalla immaginaria. 



Eliminando poi tra le due equazioni così ottenute la u o la u, si perviene ad 

 un'unica equazione differenziale dell'8 ordine a cui soddisfano le sei componenti di 

 spostamento. 



4. — Sussiste per l'equazione (6), o il che è lo stesso per il sistema (7), il 

 seguente teorema: 



Due funzioni 9, 9- regolari in uno spazio S, ove soddisfano al sistema (7) ; le quali 

 sopra la superficie o, che limita S, verificano una delle seguenti condizioni: 



(a) 9 = , •?• = 



(b) £. = 0, ^ = 



n essendo la normale interna ad, sono identicamente nulle quando si supponga h =1= 0. 

 Dalle equazioni (7) si ricava infatti : 



«2 J (.9- A 2 9 _ 9A 2 -9-) dS — 2Wk J (9 2 + * 2 ) dS=0. 

 E poiché 9, 9- sono regolari in S, consegue pure: 



— a*f(fr-g-— e||Wff — 2h*k$(&+$ 2 )dS=0 . _ 



