484 ERNESTO LAURA 8 



Se ora è verificata una delle due condizioni (a), (b), si ricava da questa equa- 

 zione, quando si supponga h =j= , k =f= : 



J(02 -f- **)dS = 

 e quindi: 



9 = 9- = 



in ogni punto di S. e. d. d. 



Qualora si avesse: 



h =f= , 4 = 



la precedente dimostrazione è illusoria. L'equazione (5) si spezza in due equazioni 

 identiche. Basta perciò dimostrare che se dell'equazione: 



(10) a 2 A 2 9 — A 4 6 = 



esiste una soluzione regolare in S, tale, che essa o la sua derivata normale in superficie 

 si annulla, questa soluzione è identicamente nulla in 8. 

 Dalla (10) si ricava: 



a 2 $QA 2 QdS— h^&dS = . 



E trasformando il 1° integrale in un integrale di superficie ed un integrale di spazio 

 si ricava: 



-^^*-.«"j[(£)* + (^)' + (f)']^-^fe^=o. 



Se quindi si ha: 



9 = 

 sopra o" 



oppure ^ = 



conseguirà : 



-JW(£) ! +(£)'+(£) s ]+^=o. 



Da cui 



6 = 



in ogni punto di S p). e. d- d. 



Nel caso invece: 



h = , k #= 



nessuna di queste dimostrazioni è applicabile ; e d'altra parte è ben nota l'esistenza 

 di valori eccezionali per la costante k. 



Dal teorema ora dato consegue allora il teorema di unicità del sistema (7) 

 (sempre però nel caso A =)= 0). 



(') Cfr. pure Mathieu, Théorie du pottntieì, pag. 63. 



