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(essendo u una funzione che gode delle proprietà analitiche di una densità) analoghi 

 a potenziali di spazio, o superficiali di semplice e doppio strato. 



I potenziali considerati da Helmholtz ( x ) corrispondono al caso particolare dei 

 precedenti 



h = 0. 



6. — Supponiamo nulle le forze di massa; relativamente al sistema (I) dimo- 

 streremo allora il teorema seguente, da cui discenderà facilmente l'unicità della so- 

 luzione di questo sistema per dati valori al contorno degli spostamenti ridotti o 

 delle tensioni. 



Teorema. — Se sei funzioni 



u, v, w, ti, v, w 



sono regolari in uno spazio S, e soddisfano il sistema (I), allora, se queste funzioni, o 

 le tensioni superficiali a cui esse danno luogo, si annullano in superficie, le dette fun- 

 zioni sono identicamente nulle, quando si supponga h =¥= . 



Ai sistemi (I) e (II), supponendo le forze di massa nulle, applichiamo quello 

 stesso procedimento che, applicato alle equazioni indefinite dell'equilibrio di un corpo 

 elastico, conduce al teorema di Betti. 



Si perviene in questo modo all'equazione: 



(13) J j [(A 4 — «*)« + 2h 2 ku]u+[{h i — A s )»+2A*Aw]« + [(A 4 — ¥)w + 2Wktv\ w{dS — 

 _ J ) [(Zi 4 — k s )u — 2h 2 k u ] u + [(te— k 2 )v — 2h 2 k v ] e + [(/t 4 — ìc*)w — 2h 2 k w ] w | dS + 



4- J {Lu + Mv + Nw + Lu + Mv + Nu>) da = 

 ossia: 



(14) 2h 2 k J («»+ v 2 + M> 2 +w 2 +v 2 -f w»)dSH-J [Lu+Mv+Nw-\-Lu+ Mv+ 2fw) da = 0. 



Le funzioni u, v, w, ... , w sieno nulle in superficie, oppure dieno delle tra- 

 zioni nulle; in entrambi i casi l'integrale di superficie del 1° membro è nullo, e se 

 si suppone: 



h =*= , k '=+= , 



dall'ultima equazione si ricaverà: 



J (w 2 + » 2 + io 2 + w 2 + v 2 + w 2 ) dS = 

 e quindi in ogni punto di S: 



u = v = w = u = v = tv=;Q. 



(') Helmholtz, Theorie der Luftsckwinhmtgen in SShren mit offenen Enden, " Creile „, 1859. 



