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E poiché W è funzione omogenea quadratica delle componenti di deformazione, 

 si ha pure: 



— l(uL + vM+wN) dS — $[2 W+ 7>V + v 2 + w 2 )] dS = 0. 



Se supponiamo le u, v, tv nulle in superficie, oppure le L, M, N nulle, si ricava 

 ancora: 



J [2 W + 7^(w 2 + v 2 + w 2 )] dS = 0. 



E, poiché W è una funzione quadratica essenzialmente positiva, si conclude: 



u = ti = te = 

 in ogni punto di S. 



Il teorema dato è completamente dimostrato. 

 La prima dimostrazione data è illusoria se 



h = 0. 

 La seconda porterebbe a dimostrare, in tal caso, che qualora sia: 



u = v = tv = in superficie, 

 oppure 



L=M=N=Q 



si ha: 



J [2 B 7 — 2/fc 2 (m 2 -L- v* + w 2 )] ttó = 



da cui nulla possiamo concludere. E d'altronde noto che dato uno spazio S, tutto 

 al finito, esistono dei valori di k in corrispondenza dei quali si possono determinare 

 delle soluzioni regolari non identicamente nulle ed annullantesi in superficie, od an- 

 nullanti le corrispondenti trazioni. 



Da questo teorema discende poi un teorema di unicità per il sistema (I) nel 

 caso però: 



h 4=0. 



Sieno date due soluzioni u, »', tv' t u', v', w'\ u", v", ..., w" del sistema (I) 

 regolari in uno spazio S. Se in superficie questi due sistemi di spostamenti assu- 

 mono valori eguali, oppure le trazioni a cui danno luogo in superficie sono eguali, 

 allora in ogni punto di S si ha: 



Infatti, poiché il sistema (I) è lineare, è ancora una sua soluzione regolare la 

 seguente : 



u — u". ..., tv' — w" . 



