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ERNESTO LAURA 



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Le soluzioni (8), (9), (10) hanno una singolarità isolata nel punto r ■■ 

 (9 bis), (10 bis) in un intorno di r = sono invece regolari. 



La dilatazione cubica relativa allo spostamento (4), (ibis) è: 



0; le (8 bis), 



X„ 



4irp, 





Jet 



Le dilatazioni cubiche relative agli spostamenti (8) ..., (10) sono invece nulle; 

 le corrispondenti vibrazioni sono, cioè , puramente trasversali. Le (7), (7 bis) danno 

 luogo a vibrazioni puramente longitudinali. 



4. — L'importanza delle soluzioni ora trovate è posta in luce nel Capitolo se- 

 guente. Esse compaiono infatti nelle forinole di rappresentazione dei moti vibratori 

 armonici. Si otterrà così questo semplice risultato : Applicando il teorema di reci- 

 procità del Betti, relativo al sistema (III), ad uno spostamento qualunque e ad ognuna 

 delle soluzioni (5), (6), (7), ..., (10), si ottengono rispettivamente le forinole di rappre- 

 sentazione per le componenti di spostamento, per la dilatazione e per le componenti di 

 rotazione. 



Poiché d'altra parte tali formole possono essere ricavate con metodo in cui non 

 è fatto uso del teorema di reciprocità, le suddette soluzioni caratteristiche si sareb- 

 bero potuto ottenere a posteriori. 



Questo è appunto il metodo con cui il Somigliana " Annali di Matematica, 1889 „ 

 ritrovò gli spostamenti analoghi a quelli ora trovati, nel caso statico, già stati indi- 

 cati dal Thomson " Cambridge and Dublin Math. Jour., 1848 „ e dal Boussinesq, 

 Applications des potentiels à l'étude de l'équilibre et des mouvements des solides élas- 

 tiques, 1885, a proposito di altre questioni. 



5. — ■ Per ottenere analogamente le soluzioni caratteristiche del sistema (I) por- 

 remo nelle formole (1) e (2) : 



u)(£) = e~ hH cos to . 



Ricercheremo cioè le componenti della vibrazione dovuta ad una forza di tipo 

 armonico smorzato agente in un punto (£, r\, l) parallelamente all'asse x. Si ha in 

 questo caso usando delle (1), con facili calcoli: 



<p(M) = ^«-** 



<p'(r,0 = 



4up 



** — «f e ° 003A: T . 2h*k e ' asen *T 





L(fc 4 + ^) 2 r ' (fc 4 + fc 2 ) 2 r \ 





r r 



* ! — r h'- — r 

 a i_j, e senfc- %m e cos * - 



L {# + &)' r ' (h k -\-k?y r J 



fc« 4- r ìfi ~ r 

 h'-k* e C0Blc T 2h*k e senk T 





Lih' + Wf r ' (fc' + &V r 



co. 



ft 2 y r h- ~r T 



fct _ fc , e senfcy 2h , k e cosfcy 



L W + VY r ' (h' + Jc 2 )* r 





sen to 



sen to \ . 



