23 SOPRA I MOTI VIBRATORI ARMONICI SEMPLICI E SMORZATI, ECC. 499 



CAPITOLO III. 



Forinole di rappresentazione degli integrali 

 dei moti vibratori armonici semplici e smorzati. 



1. — Ci occuperemo dapprima dei moti vibratori armonici. Allora è conosciuto 

 che le componenti di spostamento ridotto soddisfano in tutto lo spazio S, occupato 

 dal mezzo vibrante, al sistema differenziale: 



(a 2 — è 2 ) g + Ò 2 A 2 « + k*u -f X= 

 (a 2 — è 2 ) -|^ + Ò*A 2 « + Wv + Y= 

 (a 2 — è 2 ) -^- + & 2 A 2 m; + Fw+ Z = . 



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e internamente a questo spazio esse sono regolari. In superficie si ha inoltre: 



J_£ = ò 2 àu + (o2 _ 2i8)e d* + pfb» òx + d£ 02/ + ^|£\ 

 p ò» ' v ' 0» ' \da; òn ' dx d» ' da; òn) 



(IV) ) _J-M=è 2 ^ -f («2_2è 2 )G^ + è 2 f^^+^^4--^^ 

 pò» ' d» \oy 5» dy On ' òy òn) 



p Om ' ò« ' \òz òn ' òz òn ' òz Onj 



Gioverà allora ottenere delle formole di rappresentazione per il sistema (III), 

 ossia delle formole che esprimano le u, v, w, regolari in S e soddisfacenti a questo 

 sistema, mediante i valori in superficie di queste funzioni, e delle trazioni superficiali. 

 Le formole che ricerchiamo potranno dunque ritenersi come l'estensione del 2° lemma 

 di Green al sistema (III). 



La diretta deduzione di queste formole non presenterebbe difficoltà alcuna, appli- 

 cando a questo sistema il metodo seguito dal Prof. Somigliana per il caso statico 

 (" Nuovo Cimento „, memorie citate), e recentemente dallo stesso autore applicato 

 al caso dinamico (le tre note in " Acc. Scienze di Torino „, già citate). Basterebbe 

 perciò ritenere dapprima nelle (IH) la 6 conosciuta; applicando allora il 2° lemma 

 di Green generalizzato all'equazione: 



(6*A,-f ft»)ip = <!>(*, y, a) 



si potranno scrivere per le «, v, w delle formole di rappresentazione in cui i valori 

 delle derivate normali verranno eliminati a mezzo delle equazioni (IV). Le equazioni 

 così ottenute, derivate per rispetto a x, y, z e sommate, daranno una relazione, me- 

 diante la quale si può eliminare un certo integrale di spazio in cui compare espli- 

 citamente la 6. 



