37 SOPRA I MOTI VIBRATORI ARMONICI SEMPLICI E SMORZATI, ECC. 513 



3. — Calcoliamo esplicitamente le X, u. Mostreremo che queste quantità sono 

 funzioni lineari delle a, R, y, ò, i cui coefficienti sono funzioni razionali (meromorfe) 

 della r. 



Perciò osserviamo le identità: 



, k 1 „ ,, 2/fc 1 „, ,,, 6/fc k 3 



«Y-ar—^; a T "-a" T =-— ^ ; «Y -a T = ^-^- 



*, „ ,, , le 3 1 



«T —« T =-y -r! 



e quelle da queste ottenute cambiando a, y rispettivamente in P, ò; e teniamo pre- 

 sente che le derivate successive di a e di Y sono funzioni lineari di a e Y, i coef- 

 ficienti delle quali sono funzioni di r. 



Dopo un calcolo, piuttosto laborioso, si perviene alle formolo seguenti: 



_ 1 ( ls , 8b 2 k* \|y &_ 



M — fcr 6 \ fcV "+" W a 2 i 2 j \ 6 « 



X — " &&V 



»V ' ita 3 »- 5 fa- 4 | è 3 \a* rV ' ^ a6 3 r aV P ^ aV 



1_ /__ ]f , _2 \ j 1_J 2 ab 1 Py 



b 2 \ a 2 ' r 2 J "T" «V 



OF— Z).E = ^|£ 



«&V 3 fc «V 3 fc 



.è' 



Determiniamo r in modo da soddisfare all'equazione trascendente : 



u = 0; 



le (8) divengono : 



4tt (GF — DE) M = X J ««fo 



(9) j 4tt (GF — DA') y = X J »d<r 



( in (CE — DJ?) w = X J «Co- 

 sicché: Esistono, in generale, delle sfere tali, che le medie dei valori presi sopra 



esse dalle u, v, tv valgono ì valori di queste funzioni, nel centro, moltiplicati per delle 

 costanti che dipendono solo dai raggi delle sfere considerate. 



4. — Le precedenti considerazioni permettono di risolvere pure il problema : 

 nel centro di una sfera omogenea isotropa, non sollecitata da forze di massa, agisce 

 una forza di intensità 



cos kt ; 



determinare la vibrazione in essa prodotta, supponendo che la superficie sferica sia in 

 quiete. 



Da quanto precede discende che una tale vibrazione è di componenti: 



cos kt (m, — lu[ l) — mu ( ?) 



(10) cos fcfa — to' 1 ' — me?) 



\ cos kt (u\ — he? — mw { p) 



Sesie IL Tom. LX. o 



