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gebrici, venne trattata nei lavori fondamentali di Clebsch (1), che stabilì cosi il con- 

 cetto di genere per le curve e per le superficie; questi resultati generalizzati alle 

 varietà comunque estese furono ritrovati algebricamente dal signor Noether {Mathe- 

 matische Annalen, II e Vili), dove insieme al genere di Clebsch [Flàchengeschlecht) 

 viene introdotto per le superficie il Ciirvengeschlecht. 



La determinazione dei moduli per le curve (2) e per le superficie (3) rientra pure 

 nel primo momento dello sviluppo della geometria sull'ente. 



Accanto a queste ricerche sono ancora da porsi quelle che studiano la classifi- 

 cazione di certi enti mediante la riduzione a tijn (irreducibili per trasformazioni bi- 

 razionali), così le ricerche sulla riduzione (all'ordine minimo) dei sistemi lineari di 

 curve piane (4) mediante trasformazioni cremoniane, e sotto un punto di vista non 

 molto dissimile possono riguardarsi le ricerche sulla razionalità delle superficie fra 

 cui sono classiche quelle del signor Noether (5). 



b) Nel secondo momento la geometria sull'ente diviene essenzialmente studio 

 delle proprietà invariantive dell'ente (6). Nella geometria sopra una curva questo 

 studio si riattacca all'applicazione delle funzioni abeliane di Clebsch (1. e.) e riceve 

 stabile assetto geometrico nell'importante memoria dei signori Brill e Noether (7). 



In questo lavoro si trovano riuniti i principali teoremi di geometria sopra una 

 curva che hanno più tardi numerose ed utili applicazioni nella teoria delle curve 

 gobbe dello spazio (8). 



Ma una nuova idea caratterizza uno sviluppo nuovo della geometria sopra una 

 curva rendendola indipendente (come si richiedeva per la sua perfezione) da una 

 particolare varietà cui la curva può supporsi appartenere. Intendo parlare dell'uso 

 degli iperspazi, i quali introdotti da Grassmann nel 1844 (come pure espressioni ana- 

 litiche) e da Riemann, furono usati dal Cayley nel 1867 e 1869 (come varietà di 

 elementi di arbitraria natura (9)) e con successo applicati allo studio delle curve 

 dal Clifford (10) (1878). 



II signor Veronese raccogliendo questi vari materiali di geometria iperspaziale 

 scrisse nel 1881 il suo classico lavoro (11) che fu il punto di partenza dello svolgi- 



li) Veber die Anwendung der Abel'schen Functionen in der Geometrie (Ckelle, t. 63). Cfr. anche 

 Clebsch e G-obdan, Theorie der AbeVschen Functionen (Leipzig, 1866) e Clebsch (" Comptes rendus , 

 1868) dove è stabilito il concetto di genere per le superficie. 



(2) Riemann, 1. e, § 12. Waie?-strass, cfr. Brill e Noether (" Math. Ann. ,, VII) o Clebsch-Lin- 

 DEMANN, Bd. I (2'' parte). 



(3) Noether, Anzahl der Moduln einer Classe algébraiseher Flachen (' Sitzungsbericlite von 

 Berlin „ 1888). 



(4) Noether (" Math. Ann. „, Bd. V); Bektini (" Annali di Mat. ,, serie 2", t. Vili); Gdccia (' Circolo 

 Mat. di Palermo „, t. I); Jung (' Istituto lombardo ,, 1887-88 e ' Annali di Mat. ,, serie 2% t. XV 

 e XVI); Martinetti (" Istituto lomb. „, 1887 e " Circolo di Palermo „, t. I); Castelnuovo (' Circolo 

 di Palermo ,, 1890 e " Accademia di Torino, Atti ,, 1890). 



(5) " Matbem. Ann. ,, III. 



(6) Un progresso analogo lia subito la geometria proiettiva nel passaggio da Poncelet a Staudt. 



(7) Uéber die alc/ebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie (" Mathem. Ann. „, 

 Bd. VII). 



(8) Cfr. Noether, Ziir Grundlegung der Theorie der algebraischen Baiimcurven (' Journ. fur Mathem. , , 

 Bd. 93); Halphen, Mémoire sur les cmirbes gauches algébriques {'^ Comptes rendus ,, t. 70, 1870). 



(9) Questo modo di vedere fu introdotto da Pluecher. 



(10) On the Classification of Loci (" Phil. Transactions ,). 



(11) Behandlung der proiectiwische Verhaltnisse, ecc. (" Math. Ann. „, XIX). 



