176 FEDERIGO ENRIQUES 



TT — 1 — n-\- r =p -\- uj — i 



(dove i = se (C) è non speciale). 



Questa relazione costituisce un'estensione del noto teorema di Riemann Roch della 

 geometria sopra una curva: essa fu data sotto forma di disuguaglianza dal signor 

 Noether (1), ma la relativa dimostrazione mi sembra presentare una lacuna. 



Definendo uj mediante l'uguaglianza r — p = lu — i,la relazione precedente sus- 

 siste ancora se (C) è impuro (dedotto coU'aggiunta di punti base da un sistema puro) 

 ed è ancora uu > 0. 



Infine la relazione stessa sussiste anche prescindendo dalla restrizione invarian- 

 tiva per la superficie che la serie caratteristica del sistema canonico sia completa, 

 ma allora non risulta dimostrato che sia sempre lu > ; si ha però certo lu > se 



r ^ ^ ~ essendo p (^) il 2° genere (Curvengeschlecht) della superficie. 



L'utilità della precedente relazione si presenta nel cap. V trattando delle curve 

 fondamentali. Poste alcune limitazioni per queste curve si dimostra una relazione 

 fra i caratteri d'un sistema (C), il genere d'una curva fondamentale e i caratteri del 

 sistema residuo (C): se ne deduce alcune notevoli proprietà dei sistemi regolari 

 (lu = 0) e del sistema canonico ; p. e. un sistema regolare di dimensione > p non ha 

 curve fondamentali di genere > 0. Così se di un sistema puro (C), senza curve fon- 

 damentali di genere > 0, si considera il multiplo secondo m, per m assai grande 

 questo è regolare: si può in tal modo trattare un caso semplice delle formule di 

 postulazione relative alle varietà che passano per una superficie negli iperspazi. 



Infine le curve fondamentali di genere dei sistemi lineari sono degne di atten- 

 zione perchè conducono ad un nuovo carattere invariantivo per le superficie {p> 0): 

 in particolare si troverà dimostrato un teorema sui punti doppi che una superficie 

 può acquistare (per trasformazione) in Sg. 



Nel cap. Yl do un rapido sguardo alle involuzioni. Estendo per quelle irrazio- 

 nali un teorema fondamentale stabilito dal signor Castelnuovo (2) per le involuzioni 

 appartenenti ad una curva. 



Finalmente determino una espressione invariantiva per le involuzioni razionali 

 sopra una superficie, formata coi caratteri di una rete di cui due curve si segano 

 in un gruppo dell'involuzione. 



Questo in breve è il tessuto del mio lavoro, di cui i numerosi mancamenti spero 

 mi si vorranno perdonare in vista degli ostacoli che ad ogni passo s'incontrano; io 

 sarò lieto se queste ricerche varranno ad invogliare taluno allo studio di un così 

 bello argomento di cui le difficoltà esercitano una meravigliosa attrattiva. 



1° giugno, 1893. 



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Federigo Ei^iques. 



(1) " Comptes rendus ,, 1886. 



(2) " Accad. dei Lincei ,, 1891. 



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