RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 177 



I. 



Generalità sui sistemi lineari di curve appartenenti 

 ad una superfìcie algebrica. 



1. Definizioni. — Teoremi preliminari. — Si dirà sistema lineare ed" di cime 

 (algebriche) sopra una superficie algebrica S, un sistema di curve tale che per k 

 punti della superficie in posizione generica passi una ed una sola curva del sistema, 

 e tale che gli elementi (curve) di esso possono riferirsi proiettivamente agli elementi 

 generatori (punti o iperpiani St_i) di una forma lineare S^ (in modo che ad un S^.i 

 ad un punto corrisponda un sistema lineare immerso in quello 00* e viceversa) (1). 



Sopra una superficie appartenente ad uno spazio S^ un sistema lineare co'' di 

 varietà (ad r — 1 dimensioni) non contenenti la superficie, sega sempre un sistema 

 lineare co*' di curve ; vedremo più tardi come in tal modo si possa ottenere qualunque 

 sistema lineare d'una superficie S, ad es. segandola con sistemi lineari di superficie 

 se essa appartiene allo spazio S3 (0 è stata proiettata in quello); ma noi vogliamo 

 anzitutto ricavare le proprietà generali dei sistemi lineaiù dalla definizione che ne 

 abbiamo data, senza occuparci del modo con cui sono stati costruiti. 



Se si ha un sistema lineare co' di curve di cui le parti variabili si segano due 

 a due in D punti variabili, diremo che il sistema è di dimensione k, e grado D : se 

 le curve del sistema sono irreduttibili e la curva generica ha il genere tt, diremo 

 che il sistema 00' è di genere tt. 



Se A; ^ 1 non si può parlare di grado del sistema. Non vi sono altri casi in 

 cui non si può parlare di grado d'un sistema irreduttibile. 



Infatti se A; > 1 per un punto della superficie deve passare più d'una curva del 

 sistema e quindi il punto è comune a due curve; perciò l'unico caso in cui non si 

 possa parlar di grado del sistema è quello in cui due curve aventi un punto comune 

 abbiano comuni altri infiniti punti ossia abbiano comune una linea, l'insieme di tutte 

 queste linee è tale che per un punto della superficie ne passa una ossia è ciò che 

 dicesi un fascio; allora le curve del sistema si compongono d'un certo numero m di 

 curve del fascio e non sono più irreduttibili. Per ogni sistema lineare irreduttibile di 

 dimensione fc > 1 i caratteri k, D, ir hanno dunque un significato ben definito. 



Può darsi che tutte le curve d'un sistema co' passanti per un punto, debbano 



(1) Il secondo fatto per h'> 1 e una conseguenza del primo quando la curva generica del 

 sistema è irreduttibile. Cfr. la mia nota: Una questione sulla linearità dei sistemi di curve apparte- 

 nenti ad una supei-ficie algebrica (' Accad. dei Lincei ,, giugno 1893). Il teorema è stato nuovamente 

 dedotto dal sig. Castelnuovo come corollario di una importante proposizione sulle involuzioni appar- 

 tenenti ad una curva algebrica (' Accad. di Torino ,, giugno, 1898). 



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