RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 181 



per la considerazione proiettiva da cui siamo partiti, che se un sistema semplice è 

 contenuto in un altro dello stesso grado, anche i generi dei due sistemi debbono essere 

 uguali. Non sussiste però la proprietà inversa, giacché proiettando una superficie nor- 

 male da un suo punto semplice (da S„ in S„_i) si ottiene una nuova superficie normale 

 le cui sezioni sono curve dello stesso genere, ma di cui l'ordine è diminuito di una 

 unità. Questa osservazione fa nascere l'idea di considerare accanto ai sistemi normali 

 quei sistemi (che diremo completi) i quali non possono esser contenuti in altri di ugual 

 genere; il concetto di sistema completo è dunque più largo di quello di sistema nor- 

 male, poiché, per quanto abbiamo osservato, mi sistema completo è sempre un sistema 

 normale (anche se non è semplice come risulta da un successivo teorema), ma non 

 viceversa. È anche opportuno rilevare con esattezza ciò che può intendersi dicendo 

 che un sistema è contenuto in un altro. Dato un sistema (K) di curve K, un si- 

 stema (C) di curve C è contenuto in (K) in modo totale se ogni curva C è da sola 

 una K; ma può anche darsi che invece ogni curva C non costituisca da sola una K, 

 mentre una curva composta di una C e di un'altra C sia una K; si dirà allora 

 che il sistema (C) è contenuto in (K) in modo parziale (ossia che le C sono curve 

 parziali di (K) ). Ora io dico che un sistema non pmò essere contenuto parzialmente in 

 un altro eli ugual grado. 



Infatti se un sistema co'' (K) ne contiene uno cC (C), facendo segare le curve K 

 di (K) dagli iperpiani di Sa^i per un punto 0, sulla superfìcie F, le, curve C di (C) 

 risulteranno segate dagli iperpiani per un Sj,_r contenente : se ora le C sono con- 

 tenute in (K) in modo parziale il detto %h-r sega F secondo una curva C (o in un 

 gruppo di punti) che insieme a ciascuna C dà una K ed allora si può considerare 

 un sistema 00''+^ immerso in (K) contenente parzialmente (C). Si facciano segare le 

 curve del nuovo sistema dagli iperpiani di Sr+i sulla superficie F' (la quale potrebbe 

 essere anche in corrispondenza [1 ni] colla F); alla curva C corrisponde su F' un 

 punto, in generale multiplo, e proiettando la F' da questo punto si ottiene certo una 

 superficie d'ordine minore; dunque il sistema (K) ha il grado maggiore di (C). Dalle 

 considerazioni occorse risulta pure che, ove si voglia attribuire un senso invarian- 

 tivo al fatto che un sistema sia contenuto parzialmente o totalmente in un altro, 

 bisogna intendere che una curva C la quale insieme ad una C costituisce una curva K 

 di (K), possa anche esser rappresentata da un punto; così se in un sistema lineare 

 se ne considera un altro contenuto con qualche punto base di piìi (in modo che il 

 grado diminuisce), il secondo sistema è contenuto parzialmente nel primo. 



Per il resultato precedente si vede che la definizione di sistema normale come 

 di sistema non contenuto in altro di ugual grado è indipendente dalla larghezza di 

 significato che voglia attribuirsi alla parola contenere, dicendo contenuto in un altro 

 anche un sistema che vi è contenuto parzialmente, giacche è inutile cercare un sistema 

 di ugual grado che ne contenga un altro parzialmente. Invece non accade lo stesso 

 per rispetto alla definizione di sistema completo, ed un esempio varrà ad illuminare 

 meglio la cosa. Si abbia sopra una superficie F un sistema (C) del genere tt; le curve C 

 per un punto semplice costituiscono un sistema contenuto in esso dello stesso ge- 

 nere; ora si trasformi la superficie in modo che al punto corrisponda una curva 

 semplice K della superficie trasformata F' ; alle curve C corrispondono sulla F' le 

 curve C d'un sistema (C), ed alle curve C per curve C spezzate nella K ed in 



