182 FEDERIGO ENRIQUES 



altre curve d'un sistema lineare (C); il sistema {G") è contenuto parzialmente in quello 

 (C) dello stesso genere. Da questa osservazione scaturisce la necessità di fissare bene 

 il senso della parola contenere nella definizione di sistema completo, e noi fissiamo 

 di chiamare completo un sistema che non può essere contenuto in altro di ugual genere 

 nemmeno parzialmente; questa definizione più larga è assolutamente necessaria (come 

 appare dal prec. esempio) ove si voglia che il carattere d'un sistema di essere com- 

 pleto (invariantivo per trasformazioni birazionali della superficie) esprima qualcosa 

 di differente da quello di esser normale. 



Si considerino ora due fasci di curve irreduttibili di ugual genere aventi comune 

 una curva totale dello stesso genere e sulla superficie F si facciano segare le curvo 

 di essi risp. dai piani per le rette /•, r' che s'incontrano nel punto 0; se la trasfor- 

 mazione è fatta nel modo generale indicato, alla curva comune dei due fasci, secon- 

 dochè si considera appartenente all'uno o all'altro fascio, corrisponde la retta mul- 

 tipla r la r' sulla F ; abbiamo già notato però che se si fa corrispondere , nella 

 proiettività posta tra ciascuno dei due fasci ed il fascio di piani omologo, la curva 

 comune al piano rr', questo si stacca (un certo numero di volte) dalla superficie F ; 

 dico che alla rimanente F non appartengono le rette r, r'. Un punto infinitamente 

 vicino alla curva comune C dei due fasci individua in generale una curva in ciascun 

 fascio, e quindi alla curva comune dei due fasci corrisponde punto per punto la se- 

 zione della F col piano r r' fuori di r ed r' ; se la retta r appartiene (come semplice 

 multipla) alla F, le corrisponde una curva che insieme alla C compone una curva 

 del fascio segato sulla F dai piani per r'; quindi nell'ipotesi fatta che la C sia una 

 curva totale per i due fasci, le rette r, r' non appartengono alla F, e su questa i 

 piani per segano una rete di curve dello stesso genere dei due fasci, in cui questi 

 sono contenuti totalmente. 



Supponiamo ora che la curva C comune ai due fasci sia contenuta parzialmente 

 in uno di essi o in ambedue, ma abbia però il genere comune dei due fasci. Com- 

 piendo la trasformazione eseguita prima, sulla F (da cui è staccato quante volte 

 occorre il piano r r') alla C corrisponde la sezione del piano r r' fuori di r ed >•'. 



Le rette r, r' (ambedue o una sola di esse) apparterranno ora alla F con molte- 

 plicità i, i' risp. Sia n l'ordine della F, m la molteplicità del punto 0, ò il numero dei 

 punti doppi a cui equivalgono (rispetto alle formule pluecheriane) i punti multipli di 

 una sezione generica per fuori di 0, n il genere di tale sezione; si avrà: 



in — 1) (re — 2) m {m — 1) . 



„ = 2 2 ò. 



La ;• potrà incontrare la curva multipla di F in qualche punto, in modo che 

 una sezione piana per r da cui sia tolta la r avrà ò — òj punti doppi fuori di 

 (o molteplicità equivalenti) essendo b > bj ; indicando con nj il genere di una tale 

 curva si avrà dunque 



(« — / — 1) (■» — i — 2) {ih — i) (m — i — 1) ?, I v 



TTi = ■ 2 ò + h- 



dando a ttj', Òj' gli analoghi significati di tTi, bj, rispetto alle sezioni piane della F 

 per r' da cui è tolta la r', si ha pure 



