RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 183 



, (« — i' — 1) (» — i" — 2) {>» — i') (m — «■' — 1) 5, I 5> 



TT 1 = 2 2 ^ + «)2- 



La curva C di genere tt, sezione della F col piano r r' da cui sieno tolte le r, r', 

 è d'ordine n — i — i', ed ha ò — òj — b., punti doppi (almeno) fuori di (o mol- 

 teplicità equivalenti), poiché la curva composta C -|- r -)- r' ha ò punti doppi (o mol- 

 teplicità equivalenti) sulla curva doppia (o multipla) della F fuori di 0, di cui bj 

 dipendono dal fatto che il piano della C passa per la retta multipla r, 0/ dal fatto 

 che passa per r/. Il genere della C vale dunque 



^ (h — / — ?■' — 1) (n — / — i' — 2) {m — i — i') {m — i — i' — 1) i, i v [ -.i 

 ^■2 - 2 2 ° + Ol + 1. 



dove il segno < dovrebbe prendersi se la C avesse ulteriori punti multipli acci- 

 dentali (di cui potrebbe escludersi l'esistenza). 



Ora dalle uguaglianze scritte segue: 



TT — TTj == i («, _ m — 1) — Òi 

 IT — tt'i ::= i' (n — m — 1) — Ò'j 

 IT — TT, 5: (« -j- i') {n — m — 1) — Òj — b'i, 



ossia 



TT — TT2 ^ 2tT — TTj — Tt'j. 



Ma secondo le nostre ipotesi 



quindi 



Dico che ne segue 



TT — TT2 > 2(lT — TTj) 

 TT < TTo. 



TT = TT2 e perciò tt ^ tt^ = n'j. 



Infatti TT è il genere d'una sezione piana generica della stella di centro su F, 

 se questa sezione si particolarizza comunque spezzandosi in s parti di genere ki, 

 k^... k, di cui due parti di genere kr, kf si segano in Vp punti, si ha, secondo una 

 formula di Noether (1), 



TT > ^1 -|- ... -|- fcs 4- ^irf — 1 



(1) ' Aota Mathematica „, 1886. È da prendersi il segno = quando nessuna delle componenti 

 della curva spezzata acquista punti multipli accidentali. 



