186 FEDERIGO ENRIQUES 



Supponiamo che (C) abbia un grado e consideriamo il sistema normale di ugual 

 grado 00' a cui appartiene: questo è contenuto nel sistema completo residuo di Cj 

 rispetto a (K). 



Si consideri (se esso non è completo) un sistema co'-'-i di curve generiche del 

 sistema completo residuo di Cj che contenga in se il sistema normale co' e si fac- 

 ciano segare queste curve dagli iperpiani di Ss-|_i sulla superficie (semplice o mul- 

 tipla) F'. Il sistema co^ vien segato dagli iperpiani per un punto in generale mul- 

 tiplo per F', ed al punto corrisponde sulla data superficie una curva C3 (composta 

 forse anche di punti) tale che il residuo della Cj -f- C3 rispetto a (K) è il sistema 

 normale a cui appartiene (C). Perciò la Cg fa parte della Co (la quale insieme con 

 Ci costituisce la C che ha per residuo (C)), e siccome il sistema (C) deve esser 

 contenuto totalmente nel sistema normale di ugual grado che esso determina, si de- 

 duce che C3 coincide con C.,, e però (C) col sistema normale residuo di Cj -}- C3 = 

 Ci + C2 = C. 



La deduzione sussiste ancora se il sistema (K) non è completo ma soltanto nor- 

 male purché appartenente ad un sistema completo. Infatti in tal caso se la dimen- 

 sione di (K) è r, possiamo considerare un sistema cc+i che lo contenga appartenente 

 al sistema completo (U) che (K) determina ; le co''+i curve posson farsi segare dagli 

 iperpiani di Sr+i sulla superficie (semplice multipla) F'; su di essa si ha allora un 

 punto (in generale multiplo) rappresentante una curva L il cui residuo- rispetto 

 al sistema completo (TJ) è il sistema normale (K); basta aggiungere alla C la L e 

 considerare il residuo di L -j- C rispetto al sistema completo (U) per trarne la con- 

 clusione che il sistema residuo (C) è normale. Dunque: 



Il residuo d'una curva rispetto ad un sistema normale (appartenente ad un sistema 

 completo) è un sistema normale (se ha un grado). 



Nel sistema completo (K) sieno contenuti parzialmente i due sistemi irredutti- 

 bili (C) e (C) tali che (C) sia il residuo di una curva generica C rispetto a K, e 

 (C) il residuo di una generica C. Supposto (per brevità) che la superficie non sia 

 razionale, le C, C generiche non sono razionali, quindi (C) e (C) (residui di esse rispetto 

 al sistema completo (K)) sono completi (la deduzione sussiste anche per le super- 

 ficie razionali). Poiché una curva generica di un sistema completo lo determina in 

 modo unico, si trae la conclusione che (C) è il residuo d'ogni altra curva C di (C), 

 e (C) è il residuo di ogni altra curva C di (C). Dunque: 



Se in un sistema completo (K) sono contenuti parzialmente due sistemi irreduttibili 

 (C), (C), tali che ciascuno di essi sia il residuo rispetto a (K) di una curva generica 

 dell'altro, ciascuno dei due sistemi è il residuo rispetto a. (K) di ogni curva dell'altro; 

 così tra i sistemi (C), (C) è stabilito un tal legame reciproco che ogni curva dell'uno 

 insieme ad una curva dell'altro costituisce una curva totale di (K). 



Questo teorema è noto sotto il nome di teorema del resto {Restsatz (1)), i due 

 sistemi (C), (C) diconsi residui uno dell'altro. 



4. Sistem.a somma di due sistemi. — Sieno dati due sistemi co', co' e si facciano 

 segare le curve di essi sulla superficie F in Sj+s risp. dagli iperpiani per un S,_i e 



(1) NoETHER, " Math. Ann. ,, 8. 



