RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 191 



la molteplicità p — 1 (almeno) nel punto pplo 0' della F e perciò questo è (p — 2)plo 

 (almeno) per la i(i„_, : la conclusione permane se vi sono piìi punti multipli isolati 

 sulla a, giacche le ipermolteplicità che la mj„_, potrebbe avere in qualcuno di essi 

 rappresenterebbero soltanto dei punti del gruppo segato da C caduti nell'intorno di 

 un punto multiplo. Suppongasi invece A > 0: allora la a è {h — l)pla per la ijj„_4 e 

 la i)j„-i sega sopra un piano per a una curva d'ordine n — h — 3 la quale si com- 

 porta come un'aggiunta rispetto alla curva d'ordine n — h sezione della F col piano 

 (fuori di a) nei punti multipli della curva multipla ; poiché essa sega sulla detta 

 curva un gruppo speciale si vede (analogamente al caso precedente) che ogni punto 0' 

 PjjIo su a deve essere (p — l)plo (almeno) per essa, ossia la i|j„_4 ha come (p — l)plo 

 (almeno) ogni punto pplo sulla retta hpla a. 



Finalmente la superficie Mi„_4 (che si è dimostrato essere aggiunta alla F) è uni- 

 camente determinata dalla condizione di contenere la curva C. Infatti l'intersezione 

 della ^)n-i colla F si compone della curva multipla, della C ed eventualmente di rette 

 per 0; queste rette per non possono variare al variare della retta r che ha ser- 

 vito per la costruzione della i(i„_, giacche altrimenti la F sarebbe un cono, quindi 

 l'intersezione della vp„_4 colla F è fissa al variare della r : tanto basta per affermare 

 che la vjj„_4 stessa è indipendente dal variare della r, giacché altrimenti si avrebbe 

 un fascio di superficie vp„_4 aventi fissa l'intersezione colla superficie F d'ordine n 

 {> n — 4), ciò che è assurdo. 



Così rimane stabilito il teorema enunciato in principio. 



Escluderemo nel seguito le suferfìcie F rigate e le loro trasformate per le quali 

 d'altra parte si può stabilire che non esistono superficie aggiunte ^l„—^. 



Se è data una superficie F d'ordine n in Sg e si considera la stella delle sezioni 

 piane per un punto fuori di essa si deduce: 



Se una curva C sega un gruppo residuo di quello segato da xma retta arbitraria 

 sopra una sezione piana generica della F^ ed un gruppo contemdo nel residtio di quello 

 segato da una retta pel punto multiplo sopra una sezione piana generica per un punto 

 multiplo isolato, la detta curva C è la sezione colla F di una determinata superficie i(i„_, 

 d'ordine n — 4 aggiunta alla F. 



2. // sistema canonico. — I teoremi del precedente § sono suscettibili d'una piìi 

 vasta estensione conducendo ad un resultato generale che possiamo enunciare sotto 

 forma invariantiva. 



A tal fine diremo curva fondamentale per un sistema lineare ogni curva parziale 

 del sistema (cap. I), la quale presenti una sola condizione ad una curva del sistema 

 che debba contenerla; se la curva è ii-reduttibile basta assegnare la condizione che 

 la curva fondamentale non abbia intersezioni variabili colle curve del sistema, non 

 così se è composta: intendiamo per altro di includere sempre in una curva fonda- 

 mentale composta tutte le linee parziali (o punti) che si staccano da una linea del 

 sistema in conseguenza dello staccarsi di una parte di essa. 



Allora una linea fondamentale d'una rete di curve, quando questa venga segata 

 dai piani d'una stella, è rappresentata o da una retta (multipla) pel centro della stella, 

 da uno o più punti multipli isolati sopra una retta pel detto centro ed eventual- 



