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Se il 1° genere p^^l, mancano le curve canoniche propriamente dette (secondo 

 la nostra definizione), ma ogni sistema lineare ha la serie caratteristica speciale: 

 manca il secondo carattere 2^"' : esiste una superficie d'ordine n — 4 aggiunta alla 

 superficie supposta d'ordine n in S3. 



3. Curve eccezionali. — Consideriamo un sistema semplice co'' (C) {>• >• 3) con un 

 punto base iplo (isolato) in un punto semplice della superficie F e trasformiamo 

 la superficie in una F' di S3 su cui 00^ curve generiche C di (C) vengano segate dai 

 piani : al punto corrisponde sulla F' una curva d'ordine i (che può anche ridursi 

 ad una curva d'ordine ~ contata j volte) la quale deve essere aggiunta ad ogni 

 curva canonica (insieme forse ad altre curve) per segare un gruppo residuo della 

 serie caratteristica sulla sezione piana generica di F'; infatti la curva composta di 

 una curva canonica e del punto sulla F sega un gruppo residuo della serie carat- 

 teristica sopra la curva generica di ogni sistema non avente il punto base e quindi 

 pel teorema principale del precedente § sega un gruppo residuo della serie caratte- 

 ristica anche sopra la curva generica d'un arbitrario sistema avente il punto base 0. 

 Dunque la curva d'ordine i che corrisponde al punto su F' appartiene a tutte le 

 superficie d'ordine n — 4 aggiunte alla F' supposta d'ordine n ; per questa proprietà 

 la detta curva dicesi (secondo il Noether Math. Ann. Vili) una curva eccezionale 

 della F' (ausgezeichnete). 



Viceversa si supponga l'esistenza di una curva eccezionale C d'ordine i sulla F': 

 il sig. Noether (op. cit., § 514) ha indicato una trasformazione della superficie F' 

 in una F su cui alla C corrisponde un punto semplice per la F e base iplo per il 

 sistema delle curve corrispondenti alle sezioni piane della F'. 



La curva eccezionale C su F' può eventualmente essere sostituita da un punto; 

 la trasformazione della F' in una superficie F su cui la C è rappresentata da un 

 punto semplice (per F) e base (con data molteplicità) per il sistema delle curve C 

 corrispondenti alle sezioni piane della F' continua a sussistere, ma nel punto le 

 curve C hanno le tangenti fisse altrimenti ad corrisponderebbe una linea su F': 

 reciprocamente se sopra una superficie F si considera un sistema (semplice) 00^ 

 (almeno) di curve C con un punto base semplice per F e con data molteplicità 

 per le C, dove le C hanno le tangenti fisse, facendo segare le curve C dai piani 

 (di S3) sopra la superficie F', si ha su F' un punto 0' multiplo eccezionale, ossia un 

 punto ipermultiplo di cui un intorno rappresenta una curva appartenente a tutte le 

 curve canoniche; in particolare si può considerare l'esempio in cui le C tocchino 

 in una data retta, 0' è allora un punto doppio eccezionale per la F'. 



Risulta di qua che non vi può essere sulla F' un punto eccezionale semplice 

 (per F'), ossia un punto base pel sistema canonico (semplice per la F'). Infatti 

 sulla superficie trasformata F il punto corrispondente ad 0' non potrebbe essere 

 un punto base isolato per le C, altrimenti gli corrisponderebbe una curva sulla F'; 

 e d'altra parte se in le C hanno una tangente fissa il punto 0' risulta doppio 

 almeno per la F'. 



Ora si consideri una trasformata F della F' senza curve (ne punti) eccezionali, 

 come è possibile con successive trasformazioni che mutino in punti semplici le curve 

 eccezionali della F'; sulla F, supposta d'ordine n, le superficie aggiunte ip„_4 (d'or- 



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