196 FEDERIGO ENRIQUES 



(cfr. citaz. precedente): va fatta eccezione per il caso che il sistema canonico si spezzi 

 nelle componenti d'un fascio (o per ^ = 1 in cui il teorema non ha significato) giacche 

 tali sistemi sono stati esclusi dalle nostre considerazioni nel § 1°, cap. I; nondimeno 

 il signor Noether ha stabilito che in tale ipotesi le curve componenti le curve cano- 

 niche sono ellittiche, sicché ^'^' = 0, ^'" = 1, e la relazione è ancora verificata. 



Possiamo ora estendere il concetto di superficie aggiunta anche al caso in cui 

 la superficie F sia stata trasformata in modo da non avere più punti multipli isolati 

 distinti, basandoci sulla invariantività del sistema canonico {p > 0). Invero una 

 curva canonica C insieme alle curve eccezionali sega un gruppo residuo della serie 

 caratteristica del sistema co' segato dai piani sulla sezione piana generica della F, 

 ed un gruppo residuo di quello segato dai piani per il punto sopra la sezione piana 

 per un punto multiplo isolato, perciò col ragionamento del § 1 si prova che la curva 

 composta della C e delle curve eccezionali (corrispondenti ai punti base del sistema co' 

 segato dai piani) è sezione di una determinata superficie iii„_4 d'ordine n — 4 (essendo 

 n l'ordine della F) la quale soddisfa alle condizioni a) b) del § 1 richieste dalla de- 

 finizione di superficie aggiunta rispetto ad una superficie con punti multipli isolati 

 distinti; inoltre la i|)„_4 si comporta nei punti multipli isolati della F in un modo 

 particolare pienamente determinato (p. e. si può vedere che essa ha come {i — 2)plo 

 j almeno ( un punto iplo infinitamente vicino ad un punto multiplo); noi assumiamo 

 il modo di comportarsi della ^l„_i nei punti multipli come definizione del modo di 

 comportarsi delle superficie aggiunte alla F, con riguardo però al fatto che debbono 

 considerarsi come ipermoltiplicità della F i punti multipli rappresentanti una curva 

 eccezionale; per evitare discussioni troppo minute diciamo che sono aggiunte alla 

 superficie F dotata di arbitrarie singolarità e di curve eccezionali distinte, le superficie 

 che segano un piano generico secondo una curva aggiunta alla sezione piana e si com- 

 portano nei punti multipli isolati come le v„_4; invero nessuna curva eccezionale (im- 

 magine d'un punto base isolato) può in questo caso ridursi all' intorno d' un punto 

 multiplo. 



Osserviamo che la costruzione delle h/„_4 riesce per p = 1 anche se mancano le 

 curve eccezionali , essendovi in ogni piano una curva d'ordine n — 4 aggiunta alla 

 sezione piana: va fatta eccezione per le superficie del 4° ordine (genere 1) a cui 

 sono aggiunte tutte le superficie. 



4. Applicazioni. — Una conclusione emerge subito dai resultati del § 2°. Se il 

 genere p di una superficie è > 0, la dimensione r d'un sistema lineare di genere ir 

 è < TT (poiché la serie caratteristica é speciale), quindi ricordando gli ultimi resultati 

 del cap. precedente si ha : 



Sopra una superficie di genere > una curva appartiene ad un determinato sistema 

 completo. 



E parimente (poiché allora ogni sistema normale è contenuto in un sistema 

 completo) : 



Il residuo d'una curva rispetto ad un sistema normale è sempre un sistema normale 

 {se ha un grado). 



Si consideri ora un sistema normale di grado n (C), appartenente ad un sistema 

 completo puro di grado n-{-b (ò > 0), sopra una superficie di genere ^ > 0. Una 



