RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 197 



curva canonica sega la curva generica del sistema completo di genere tt in 

 2 (tt — 1) — n — ò punti, ed insieme ai punti base di (C) sega una curva generica C 

 (di (C)) in 2 (tt — 1) — n punti; i detti punti base non possono essere multipli perchè 

 (C) ha lo stesso genere ir del sistema completo a cui appartiene, quindi (C) ha almeno 

 ò punti base semplici, e precisamente ne ha b perchè è ò la differenza fra il suo 

 grado e quello del sistema completo. 



Si deduce che se ò = (C) coincide col sistema completo a cui appartiene. 

 Dunque : 



Un sistema puro normale è necessariamente completo {p > 0). 



IH. 

 Il sistema aggiunto. 



1. Definizione del sistema aggiunto. — In S3 si abbia una superficie F d'ordine n; 

 una superficie v„-3 d'ordine n — 3 aggiunta alla F sega la F (fuori dei punti multipli) 

 secondo una curva K la quale gode delle due proprietà seguenti: 



a) sega una sezione piana generica della F secondo un gruppo canonico, 



b) sega una sezione piana generica (non razionale) per un punto multiplo 

 della F secondo un gruppo contenuto in uno appartenente alla serie somma di quella 

 canonica e della serie differenza di quella segata sulla curva dai piani generici di S3 

 e di quella segata su di essa dai piani per 0. Escludiamo che la F abbia una stella 

 di sezioni piane razionali (nel qual caso sarebbe razionale). 



Se il punto è un punto iplo ordinario la serie differenza di quella segata dai 

 piani generici di S3 sopra una sezione piana per e di quella segata sulla curva 

 stessa dai piani per 0, è la serie determinata dal gruppo degli i punti della curva 

 in questione infinitamente vicini al punto 0. 



In modo analogo a quello con cui è stato dimostrato il teorema principale del 

 § 1°, cap. II si stabilisce che: 



Se la F è dotata solo di punti multipli isolati distinti, una curva la quale goda 

 delle proprietà a), b), è la sezione della F con una determinata superficie aggiunta ^l„_^ 

 d'ordine n — 3. 



Le proprietà a), b) di una curva K rispetto alla F, si traducono in proprietà 

 della K rispetto alle sezioni piane di una stella col centro fuori della F in un 

 punto semplice di essa, le quali d'altra parte (per la dimostrazione analoga a quella 

 citata) sono caratteristiche per la K. Si ha dunque: 



La , condizione necessaria e sufficiente affinchè la K sia la sezione della F {dotata di 

 punti multipli isolati distinti) con una superficie v|)„_3 d'ordine n — 3 aggiunta alla F 

 stessa, è che la K: 



