198 FEDERIGO ENRIQUES 



a) seghi un gruppo canonico sopra ogni sezione generica della F con un piano 

 appartenente ad una stella il cui centro è fuori della F o è semplice per essa, 



P) seghi un gruppo contenuto in uno appartenente alla serie somma della canonica 

 colla serie differenza di quella segata dai piani per e di quella individuata dal gruppo 

 dei punti base semplice del fascio, sopra la curva generica d'un fascio segato da piani per 0. 



Si supponga che le sezioni piane della F di genere n sieno le curve di un sistema 

 generico co^ immerso in un sistema completo (C) di dimensione r > 3 (e necessaria- 

 mente semplice). Le curve C si facciano segare sulla superficie trasformata cp dagli 

 iperpiani di S,: il sistema delle sezioni piane della F viene segato dagli iperpiani 

 per un Sr_, di S^ non incontrante la <p. Dato un altro S,_4 non incontrante la cp in 

 S, si può sempre costruire una serie di S,_4 in S, (avente per estremi i due dati) tale che 

 due Sr_4 consecutivi giacciano in un Sr_3 senza intersezioni colla cp. Allora una curva 

 K che gode delle proprietà a), b) rispetto al primo sistema oo^ (quando le sue curve 

 sieno fatte segare dai piani di S3), gode delle proprietà a), p) rispetto alle curve della 

 rete data dagli iperpiani per 'Sr-% (che vien segata dai piani d'una stella col centro 

 fuori di F, quindi gode delle proprietà a), b) rispetto al 2° sistema co^ immerso in 

 (C) e così via fino all'ultimo (supposto che tutti questi sistemi sieno semplici). 



Allora traducendo in linguaggio invariantivo le proprietà a), P), a), b) si può 

 enunciare il teorema: 



Sia (C) un sistema completo semplice di dimensione r > 3 dotato di curve fonda- 

 mentali distinte, e sia K una curva la quale goda delle due proprietà seguenti: 



a) di segare un gruppo canonico sopra la curva generica di una rete generica 

 immersa in [C), 



P) di segare sopra la curva generica di un fascio contenuto nella rete un gruppo 

 contenuto in uno appartenente alla serie somma della serie canonica e di quella diffe- 

 renza tra la serie segata dalla rete e quella individuata dal gruppo dei punti base sem- 

 plici del fascio; allora la curva K gode le due proprietà caratteristiche seguenti: 



a) sega un gruppo canonico sopra ogni curva generica di (C), 



b) sega sopra la curva generica d'un sistema e»'"' residuo di una curva fonda- 

 mentale di (C) un gruppo contenuto in uno appartenente alla serie somma della serie 

 canonica e della serie differenza fra quella segata sulla curva da (C) e la serie carat- 

 teristica del sistema 00'"^ 



La curva K è caratterizzata dal fatto di essere la sezione (fuori della linea mul- 

 tipla) della superficie F d'ordine n ottenuta facendo segare dai piani di S3, co^ curve 

 generiche di (G), con una superfìcie qj„_3 d'ordine n — 3 aggiunta ad essa F. Perciò le 

 curve K compongono un sistema lineare che si dirà il sistema aggiunto di (C). 



Se si tratta di una superficie di genere p > 0,\e proprietà a), b) rispetto ad un 

 sistema (C) con punti base distinti (1), competono alle curve composte di una curva C 

 (di (C)) e di una curva canonica aumentata dei punti base di (C) (cfr. cap. Il, § 3), 



(1) Ossia tali clie in nessuno di essi le curve C hanno una tangente fissa. Sebbene introduca 

 costantemente questa ipotesi per non entrare in una analisi troppo minuta, non sarebbe difficile 

 estendere molti resultati anche al caso in cui (C) abbia punti base di arbitraria natura, come si fa 

 nel piano colla considerazione delle singolarità straordinarie delle curve. 



