RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE ]99 



e quindi evidentemente anche alle curve del sistema (normale) somma di (C), del 

 canonico, e delle curve rappresentate dai punti base di (C). 



Viceversa consideriamo il sistema (K) aggiunto di (C). Sulla curva generica C 

 di (C) una K di (K) sega un gruppo canonico per il quale passano oltre la K co""' 

 curve del sistema aggiunto spezzate nella C ed in una curva canonica aumentata 

 dei punti base (o curve eccezionali corrispondenti) di (C), quindi pel detto gruppo 

 canonico passano almeno cC curve di (K); ma per il gruppo non possono passare 

 piìi di co'' curve K giacché altrimenti vi sarebbero più che oo''~' curve di (K) spezzate 

 nella C ed in una curva residua, la quale per le proprietà a), b) di (C) possiede ne- 

 cessariamente le proprietà caratteristiche (indicate nel cap. Il, § § 2, 3) proprie di 

 una curva canonica e delle linee eccezionali (o punti base) di (Cj; dunque per un 

 gruppo canonico sezione d'una curva irreduttibile K con una curva generica C pas- 

 sano appunto 00" curve K. Il sistema (K) è dunque il sistema normale somma di (C) 

 col sistema canonico e colle curve eccezionali (distinte) di (C), e questo fatto si assu- 

 merà come definizione per (K) se (C) non ha curve fondamentali distìnte (per p > 0): 

 risulta ancora (per la convenzione del cap. prec.) che (K) viene segato dalle superficie 

 d'ordine n — 3 aggiunte sulla superficie d'ordine n le cui sezioni piane sono curve 

 generiche di (C). 



Come ora abbiamo osservato le curve di (K) residue di una C sono curve cano- 

 niche aumentate dei punti base di (C); allora consideriamo un punto base iplo isolato 

 di (C) (sopra una superficie senza curve eccezionali) e supponiamo per pura sempli- 

 cità di ragionamento che (C) non abbia altri punti base. 



Staccando da (K) una curva C generica si ha un sistema residuo somma del 

 sistema canonico e del punto 0, ciò vuol dire che il punto ha come residuo rispetto 

 a (K) il sistema somma di (C) e del canonico; poiché il sistema canonico non ha 

 punti base (é puro) il detto sistema somma ha il punto come base iplo ; ora si pos- 

 sono fare due ipotesi; o il sistema (K) é spezzato nel detto sistema somma e nel 

 punto (se si vuole curva eccezionale corrispondente), oppure il punto ha una 

 tale molteplicità s per le curve K che imponendo ad una di esse di avere un altro 

 punto infinitamente vicino ad oltre agli s tenuti fissi (ossia staccando 0, o se si 

 vuole la curva eccezionale corrispondente, da (K)) il punto diviene iplo per le 

 curve K residue; il punto facendo parte una sola volta delle curve K spezzate in 

 ima C in una canonica ed in 0, segue che s=-i — 1, ossia il punto é [i — 1) pio 

 per (K). D'altra parte (K) non può avere altri punti base fuori di quelli di (C) poiché 

 un punto base di (K) è base pel residuo del canonico e pel residuo rispetto al nuovo 

 sistema di curve o punti non contenenti 0. Deduciamo : 



Sopra una superficie di genere > il sistema (K) aggiunto a (C) (co^ almeno) è il 

 sistema normale somma di [C), del sistema canonico e dei punti base (supposti isolati) 

 (o curve eccezionali) di (C); un punto base iplo di (C) o si stacca (forse) da tutte le 

 curve di (K) ed allora è iplo per le componenti irreduttibili di esso, o è base (i — 1) 

 pio per (K); (K) noti ha punti base fuori di quelli di (C). 



3. Dimensione del sistema aggiunto. — Le curve del sistema (K) aggiunto a (C) 

 segano sulla curva generica C (di (C)) gruppi canonici; sorge la questione " la serie 

 segata da (K) sulla curva C è la serie canonica completa? „. ■ 



