200 FEDERIGO ENRIQUES 



Con effettivi esempi (di superficie aventi il genere geometrico diverso dal nu- 

 merico che avrò occasione di menzionare) si vede che può avvenire l'uno o l'altro 

 caso ; importa però a noi di stabilire che questo fatto è legato invariantivamente alla 

 superficie e non dipende dal particolare sistema (C) considerato. 



Intanto notiamo che la questione posta equivale a quella di determinare la di- 

 mensione del sistema (K) aggiunto al sistema (C) di genere n sopra una superficie 

 di genere p, infatti abbiamo avuto occasione di osservare nel precedente § che per 

 un gruppo canonico della C sezione di una K (di cui la C non fa parte) passano oo'' 

 curve K; quindi la dimensione di (K) h p-\-n — u) — 1 essendo u) (> 0) il difetto di 

 completezza della serie che (K) sega sulla C. Questa quantità lu > che esprime la 

 differenza fra la dimensione virtuale (per dir così) p -j- ir — 1 dell'aggiunto a (C) e la 

 dimensione effettiva del detto sistema aggiunto, si designerà nel seguito con ò (C). 



Il sistema (C) sia un sistema puro semplice (quindi co^ almeno, essendo p>0), e 

 co* delle sue curve generiche sieno segate sulla superficie F dai piani di S3 ; la F 

 risulta senza curve eccezionali ; s'indichi con (C) il sistema canonico e con (C -\- C) 

 il sistema normale somma di (C), (C), ossia il sistema aggiunto a (C); analogamente con 

 (rC-l-C') il sistema aggiunto ad (rC); infine ir'" designi il genere di (r C) (tt'^' = it). 

 Il sistema [r C) contiene in se (totalmente) quello segato sulla F da tutte le super- 

 ficie cpr di ordine r; dato un arbitrario sistema (Cj) si può prendere r così grande che 

 per la curva generica Cj passino delle cp„ e quindi (Cj) sia contenuto (parzialmente) 

 in (r C); anzi per r assai elevato le cp, passanti per Cj non passeranno in conseguenza 

 per altri elementi fissi e perciò il residuo di (Cj) rispetto ad (r C) sarà un sistema 

 puro (C,); supponiamo ancora che (Cj) stesso sia un sistema puro. 



Indicando con tti, 1X2 i risp. generi di (Ci), (Cg), la curva spezzata Cj -\- Cg non 

 ha fuori dei punti multipli per le curve di (r C), altri punti multipli che i D punti 

 doppi intersezioni di Cj, C^ (essendo (C,), (Cg) due sistemi puri residui un dell'altro 

 rispetto ad (>'C)), quindi secondo la formola di Noether che dà il genere d'una curva 

 spezzata sì ha: 



TrW = TTi + TT,+ D-l. 



Ora il sistema aggiunto di {r C), ossia (r C -(- C) è anche la somma (Cg -{- (Cj 

 -\- C')) ossia è la somma di (Cg) e dell'aggiunto a (C,). Sopra la curva generica C2 

 (di genere TTg) il sistema (C2 -j- (Cj -|- C')) = (Cj -|- (Cg -|- C) ) sega una serie g (forse 

 scompleta) di grado 



D + 2 TTo — 2 

 e però di dimensione 



D + 7T2 - 2 - UJ2 (UJ2 > 0): 



se i? + TT^ — 1 — (jui (u)i = ò (Ci) > 0) 



è la dimensione di (Ci -\- C), per un gruppo della serie g passano co''+'^'"''"' curve 

 di (C2 + Ci -|- C) tra cui oop+'^i-i-'"i spezzate nella Cj ed in una curva arbitraria di 

 (Ci -f" C) ; dunque la dimensione del sistema aggiunto ad (r C), cioè di (r C -j- C) = 

 (C2 + Ci + C) vale 



P + TTi -{- ^^2 + D — 2 — lUi — UJ2; 



