202 FEDERIGO ENRIQUES 



Per dimostrare questo lemma osserviamo anzitutto che la serie g in questione 

 è certo contenuta nella serie completa segata sulla nostra curva C„ dalle Gn-z-\-(r+i) 

 aggiunte d'ordine n — Z -\-{r -\-l); basta quindi stabilire che è completo il minimo 

 sistema lineare contenente tutte le curve composte d'una Gn-ì+r (d'ordine n — 3 -|- r) 

 aggiunta alla C„ e d'una retta: infatti il sistema delle C„_3+(r+i) che sega la g sulla C„ 

 (comprese in esso sistema tutte le C„_3+(r+i) per un gruppo della g) è appunto tale 

 che contiene in se tutte le curve composte d'una retta e d'una Cn-z+r e non può 

 essere completo se è scompleta la detta serie g. Ora per ipotesi fra le curve C„_3+(r+i) 

 vi sono quelle composte di una retta fissa a e di una C„_3-|-r che sono 



»-(r— 3) 



e così pure quelle composte di una retta fissa a' e di una C„_3+r; i due sistemi hanno 

 comune il sistema delle Gn-3+(,r—i) la cui dimensione è 



IT — ! + (>* — l)w-|- ^^ 2 



e però il loro minimo sistema somma ha una dimensione 



> 2 j TT — 1 + m + -^-g— I —\-!^ — l + {r—l)n-\ ^ ^' 



cioè 



ma questo sistema è contenuto o coincide con quello delle C„_3+(»-+i) passanti per il 

 punto comune ad a, a', e poiché le C„_3+(r+i) seganti la g sulla C„ non passano tutte 

 per quel punto, la dimensione del sistema delle Gn-z+{r+i} in questione è 



>Tt — 14-(r + l)wH 2 



e quindi è appunto la dimensione 



del sistema completo di tutte le C„_3+(r+i) e dd. 



Ritornando alla questione precedente si ha come immediata applicazione del 

 lemma ora stabilito, che se il sistema (r C + C) aggiunto ad (rC) (dove r>l) sega 

 sulla curva generica C una serie completa, lo stesso accade per ((»• -|- 1) C -|- C), e 

 poiché la differenza (> 0) fra ò {{r-\-l)C) e b (r C) é la scompletezza tu della serie 

 segata da ((>• -\- 1) C) sulla C, si ha in tal caso 



b(rC) = ò((»--fl)C)= = K. 



