RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 203 



Un corollario di questo resultato è il seguente : se per r > 1 è ò (>• C) =; , la 

 superficie ha il carattere K = ; il resultato piìi semplice si ha per r = 2. Possiamo 

 così enunciare il teorema: 



Se sopra una superficie di genere p > esiste un sistema puro semplice (C) (quindi 

 co^ almeno) tale che il sistema aggiunto a (2 C) seghi la serie canonica completa sulla 

 curva generica di (2 C) (ossia abbia la dimensione p -{-27i-\-n — 2 dove -n ed n sono risp. 

 il genere e il grado di (C)) allora sulla curva generica di ogni sistema puro di genere TT^ 

 appartenente alla superficie, il sistema aggiunto sega la serie canonica completa, ossia 

 esso ha la dimensione 



p+U-1. 



In altre parole la condizione necessaria e sufficiente affinchè per una superficie sia 

 il carattere invariantivo 



K=0 

 è che esista un sistema puro semplice (C) tale che 



b(2C)=:0. 



Il teorema verrà poi esteso anche ai sistemi impuri; dobbiamo prima illuminarne 

 meglio il contenuto ponendolo in relazione colle proprietà che si riferiscono al genere 

 numerico della superficie, ed ai sistemi segati su di essa da superficie aggiunte. 



3. Sistemi segati sopra una superficie dalle superficie aggiunte. — Consideriamo 

 in Sg la superficie F d'ordine n di genere ^ > senza curve eccezionali , dotata di 

 singolarità qualunque, le cui sezioni piane appartengono ad un sistema puro (C); 

 indichiamo col simbolo ip^ le sue superficie aggiunte d'ordine \x. Come nel § 1 per 

 le MJ„_3, si dimostra che le curve appartenenti al sistema (normale) somma di (C) e 

 del sistema aggiunto a (C) sono sezioni della F con una ip„_2, e però che le ij)„_2 

 segano sulla F un sistema normale; poiché (C) è puro le mj„_2 segano sulla F il 

 sistema puro completo aggiunto a (2 C) (cioè (2 C -|- C) se (C) è il sistema canonico). 

 Parimente si vedrebbe ancora che le ij)„_i segano sulla F il sistema completo 

 (3C -|- C) (poiché ancora il gruppo sezione sopra una sezione piana C appartiene ad 

 una curva aggiunta d'ordine n — 1). 



Supponiamo che le superficie ip„_3-i-r (r > 1) seghino la serie completa sopra 

 una sezione piana generica C della F; per il lemma di geometria sopra una curva 

 stabilito nel precedente §, segue che le i|j„_s+(r+i) segheranno pure sopra la C la 

 serie completa ; allora se il sistema segato dalle Vn-3+r sulla F è il sistema [rQ-\- C) 

 completo, quello segato dalle \ìfn-ZMr+'^) ^ necessariamente il sistema completo 

 ((/• -|- 1) C -|- C) e si ha (come si é visto) 



b(rC)=b((r+l)C). 



Dunque se b (2 C) = (poiché le ij;„..2 segano sulla F tutto il sistema (2 C -|- C')), 

 le superficie aggiunte alla F v^n—i+r [r > 1) segano pure sulla F tutto il sistema 



