204 FEDERIGO ENRIQUES 



(r C -|- C). In tal caso le ^>n-3+r segano sulla F un sistema di dimensione p -(-Tr''+'' — 1 

 (essendo t:''' il genere di {r C)); per ogni curva sezione passano (se r >■ 3) (3) -)- 1 Vn-s+r 

 linearmente indipendenti fra cui (3) spezzate nella F ed in una arbitraria superficie 

 d'ordine r — 3, quindi il numero A„.. 3-1-r della superficie ^)n-3+r linearmente indi- 

 pendenti è dato da 



A„_3+r = iJ H- nf+i) + (;) fdove (^ = se >• < 3). 

 Se Tt''' = TT è il genere di (C) si ha 



„(r+l) _ „(>■) _|_ n _|_ ,.^ _ 1^ 



quindi 



A„_3+r = A„_3+(r-l) + " + »'« — 1 + Cl^)» 



Uguaglianza la quale significa che le Vn-3+r segano sopra un piano il sistema lineare 

 completo delle curve d'ordine n — 3 -f- r aggiunte alla sezione piana la cui dimen- 

 sione è TI -\-rn — 2 -)- Cl^). 



Ma se la F è dotata di singolarità ordinarie e se i numeri A„_3+r, An-s+{r-i) 

 sono quelli dati dalle formule di postulazione di Noether si deduce appunto (per 

 differenza) la precedente uguaglianza (come il signor Castelnuovo ha osservato (1)): 

 valendo la detta formula ricorrente (che è stata dimostrata partendo dall'ipotesi 

 K = ò (2 C) = 0), si conclude dunque che valgono le formule di postulazione di 

 Noether per le Vn-s+r se valgono per le ^Vn-s e poiché esse danno js^i -{- tt, <ì)„_3 linear- 

 mente indipendenti se pi è il numero virtuale delle Hi„_4 (ossia il genere numerico), è 

 condizione necessaria e sufficiente affinchè valgano per r assai grande le dette formule 

 di postulazione che sia 



Pi =p; 



siccome effettivamente le formule di postulazione di Noether valgono per r assai 

 elevato, l'uguaglianza p^^ p^ risulta stabilita. Viceversa se^ =^i valendo le formule 

 di postulazione per r assai grande, si ha b (r C) = e quindi K = 0. 



Si conclude il teorema: 



Le superficie di genere p > per le quali il carattere invariantivo K = allorché 

 sieno trasformate in modo da avere soltanto singolarità ordinarie (se è possibile) e non 

 curve eccezionali, hanno il genere numerico Pi = P; e viceversa (2). 



Poiché Pi non è definito per le superficie con singolarità straordinarie assume- 

 remo per esse convenzionalmente pi=p quando è K= 0. 



Possiamo enunciare il teorema (dimostrato mediante le considerazioni precedenti): 



Sopra una superficie d'ordine n di Sg senza curve eccezionali, dotata di singolarità 



(1) " Sulle superficie algebriclie le cui sezioni piane sono curve iperellittiche , C Circolo Mat. 

 di Palermo „ t. IV, 1890). 



(2) Indipendentemente dai ragionamenti fatti che suppongono ^j > 0, tenendo conto dell'osser- 

 vazione che la differenza virtuale A^ — Am— i è la dimensione del sistema di tutte le curve d'or- 

 dine |u aggiunte ad una, sezione piana, partendo dall'ipotesi che le formule di postulazione valgano 

 per |Li assai grande (come accade se la superficie ha singolarità ordinarie) si prova che è pi "^p e 

 se pi=p le formule di postulazione valgono per le Vn— 4+r(r S- 0). 



