EICERCHE DI GEOMETRIA SOLLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 205 



qualunque, avente il genere numerico tignale al geometrico > 0, (ossia K = 0)^ le super- 

 ficie aggiunte di arbitrario ordine segano un sistema completo. 



La dimostrazione è stata data soltanto per le ^Vn—z+r con r > (poiché esse 

 segano tutto il sistema aggiunto ad un sistema puro il quale è un sistema puro 

 normale e perciò un sistema completo), ma in vista del teorema del resto del cap. I, 

 staccando successivamente sezioni piane si stabilisce la cosa in ogni caso. 



Allora adoperando il ricordato teorema del resto del cap. I si ha: 



n sistema completo a cui appartiene una curva C sopra la superficie F viene segato 

 da tutte le superficie aggiunte di arbitrario ordine che passano per una intersezione 

 complementare irreduttibile della C e si comportano debitamente nei punti multipli della 

 C stessa. 



È questo il complemento del ricordato teorema del resto {Restsatz, secondo 

 Noether). 



4. Sistemi impuri. — Sopra la superficie F di genere geometrico uguale al nu- 

 merico p > 0, le cui sezioni piane appartengono ad un sistema puro (C), si consideri 

 ora un sistema impuro (Cj) avente s punti base multipli risp. secondo «i, i^ . . .i,\ 

 possiamo prendere r così grande che (Ci) sia contenuto in (rC) ed abbia come re- 

 siduo rispetto ad esso il sistema puro (C2). Indicando con nj, tTj i risp. generi di (Cj), 

 (C2), con tt"" quello di (r C), e considerando che un punto jplo d'una curva le cui 



tangenti stanno in un piano diminuisce di -^^^-g il genere della curva, si ha 



nW^Tt. + TT^ + D-l + i^^-^Y^ 



dove D è il numero delle intersezioni di una Ci, con una C2. Sia (C) il sistema ca- 

 nonico e quindi (rC-fC) l'aggiunto di (rC), ed (rC-j-C' — C2) il residuo di (Cj) 

 rispetto al detto aggiunto ; ripetiamo il ragionamento del § 2 ; (r C -f- C) sega sulla 

 C2 una serie di grado D -j- 2 712 — 2 e quindi di dimensione D -|- Ttg — 2 — uu, (uj > 0), 

 sicché la dimensione di [r C -f- C — C2) è 



_P + TT'" — D — TT2 -|-UJ, 



ossia è 



p + ^1 + £ ^iSk^ - 1 + u,. 



Le curve d'un sistema lineare che hanno un punto jplo in un punto semplice 



di F soddisfano ad '''t condizione lineari al piìi ; quindi le curve di (r C + C — C2) 



che hanno un punto (if — 1) pio in ogni punto base in pio di (Ci) costituiscono un 

 sistema di dimensione 



>_p +TTi — 1 +UJ; 



questo sistema appartiene evidentemente al sistema somma di (Ci) con (C) e coi 

 punti base di (Ci) ossia all'aggiunto di (Cj), il quale ha una dimensione < f) -|- tii — 1 ; 



