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segue uu = 0, e la dimensione del nominato sistema aggiunto a (Cj) è quindi proprio 



p-hui — l. 



Dunque: 



Sopra una superficie F di genere geometrico ugtiale al numerico p > 0^ anche ogni 

 sistema impuro di genere TT ha il sistema aggiunto di dimensione p + ^ — 1 come ogni 

 sistema puro. 



Se il sistema impuro (Cj) ha i suoi punti base distinti (come supponiamo) non 

 può nessuno di essi staccarsi dal sistema (K) aggiunto a (Cj), poiché (K) deve segare 

 la serie canonica completa sulla curva generica Cj, e questa non ha come punti fissi 

 gli i punti infinitamente vicini ad un punto iplo; quindi (cfr. anche il § 1): 



Sopra la superficie F il sistema aggiunto ad un sistema impuro con punti base 

 distinti è irreduttibile ed ha come (1 — 1) pio un punto base iplo del nominato sistema 

 impuro. 



Sopra la superficie F senza curve eccezionali di genere geometrico uguale al 

 numerico ^ > di cui le sezioni piane appartengono al sistema (puro) (C), si torni 

 a considerare il sistema impuro (C) di genere tTi con s punti base distinti di mol- 

 teplicità il, ia... i„ e si prenda r così grande che il sistema {r C) di genere n''' con- 

 tenga (C) in modo che (Cj) abbia come residuo rispetto ad esso un sistema puro (C2) 

 di genere ttj ; sia ancora (C) il sistema canonico. Il sistema {rC-{- C — C2) residuo 

 di (Cg) rispetto ad (r C -f- C) ha la dimensione 



p + TTi + Z 



i? (ip — 1) 



(come abbiamo visto essendo uj = 0) ; questo sistema non può avere alcun punto base 

 fuori dei punti base di (Cj), poiché un tal punto sarebbe base per l'aggiunto di (Cj); 

 d'altra parte se un punto base iplo per (Ci) fosse base per (r G -|- C' — C2), impo- 

 nendo a questo sistema di avere il punto come {i — 1) pio si imporrebbe alla 



curva generica di esso meno di ^ ~ condizioni lineari e ne conseguirebbe che 



la dimensione del sistema aggiunto a (Cj) sarebbe > p -{-ni — 1 mentre ciò è im- 

 possibile; si conclude che staccando (C2) da (r C -f- C) il sistema residuo (r C -j- C — C2) 

 non può acquistare punti base, ossia è un sistema puro. Consideriamo il sistema 

 (r C — C2) residuo di (C) rispetto al nominato sistema (r C -|- C — C2) ; il sistema 

 aggiunto ad (r C — 02) è la somma di (?• C -{- C' — C2) coi punti base eventuali di 

 (r C — C2), e però ha la dimensione 



+ TT. + I ^^ 



(»> - 1) 



— 1 



(numero esprimente la dimensione di {rC-\- C — C2)) ; ma il genere di (rC — C2) è 



< TT, + Z 5 



