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Se sopra una superficie razionale dotata di punti multipli isolati distinti vi è un 

 sistema semplice (C) (co^ almeno) tale che i residui delle sue curve fondamentali sieno 

 sistemi di genere > 0, quando la superficie sia rappresentata sul piano, il sistema ag- 

 giunto a (C) viene rappresentato dal sistema delle curve d'ordine n — 3 aggiunte alle 

 curve C'n d'ordine n immagini di quelle di (C), spogliato delle componenti fisse eventuali (1). 



Per la dimostrazione si consideri nel piano il sistema (C'„) delle C'„ e quello 

 (C'„_3) delle curve aggiunte d'ordine n — 3 ; le curve C'„_3 segano anzitutto sopra la 

 curva generica C'„ un gruppo canonico. Sia G una curva fondamentale di (C.) e (C^) 

 il sistema residuo d'ordine p: sia (C'p_3) il sistema delle curve d'ordine p — 3 ag- 

 giunte alle G'p (le quali sono di genere > 0). Fra le C'„_3 vi sono le curve composte 

 G -\- C',_3 le quali segano sopra una G'p dei gruppi di punti (individuanti la serie 

 segata da C'„_3) che sommati con un gruppo sezione di una C ^ danno gruppi equiva- 

 lenti (cioè appartenenti alla stessa serie completa) a quelli segati sulla C'p dalla curva 

 composta C'„ + C'p_3 = (G -f C',) + C'p_3. Dunque le C'„_3 segano sulla C'^ gruppi 

 della serie somma della serie canonica (segata dalle C'p-s) e di quella differenza tra la 

 serie segata dalle C'„ e la serie caratteristica di (C^). Tanto basta (secondo la defini- 

 zione del § 1) perchè il teorema risulti dimostrato; giacche il sistema aggiunto a (C) 

 di genere tt è in tal caso co'^-i ed è pure co'^"-' quello (C'^3) nel piano: le componenti 

 fisse deUe C'„_3 nel piano rappresentano curve che si possono impunemente aggiun- 

 gere al sistema aggiunto a (C) perchè essendo fondamentali per (C) non ne risultano 

 alterati i caratteri essenziali di esso (§1). 



6. Un teorema sulla superficie del 4° ordine. — Sopra una superficie di genere 1 

 (geometrico e numerico) si consideri un sistema (C) con s punti base distinti di mol- 

 teplicità i^, Ì2 . . .i: risp., e sia i la più alta molteplicità di un punto base. Indi- 

 chiamo con (C) il sistema aggiunto a (C), con (C") l'aggiunto di (C) (0, se si vuole, 

 2° aggiunto di (C)), ecc.; il sistema (C'"') «"'"'° aggiunto di (C) è un sistema puro da 

 cui (C) è dedotto coll'aggiunta dei suoi punti base. 



Sopra una superficie di genere 1 non vi sono curve canoniche (non eccezionali), 

 quindi un sistema puro di genere n è l'aggiunto di sé stesso e però ha la dimensione n 

 e il grado 2 (n — 1). 



Si possono classificare le superficie di genere 1 a seconda del sistema puro di 

 dimensione minima che esse contengono. In questa classificazione s'incontra dapprima 

 la superficie del 4° ordine, poi la superficie del 6° ordine di S4 sezione d'una qua- 

 drica con una varietà cubica, poi la superficie di 8° ordine sezione di 3 quadriche 

 in S5, e così via; l'irreducibilità di queste superficie (generali) a quella generale del 

 4° ordine seguirà dalle considerazioni che andiamo ad esporre (2). 



(1) Ossia dal sistema aggiunto puro di quello (C'n) delle C'n secondo la definizione di Castel- 

 nuovo. La restrizione che i sistemi residui delle curve fondamentali di (C) sieno di genere > 

 dipende solo dal fatto che la definizione data pel sistema aggiunto non si estende al detto caso 

 escluso : siccome una superficie con una rete di curve razionali è razionale, possiamo estendere con- 

 venzionalmente il teorema di guisa che il sistema aggiunto risulta definito anche pei sistemi 

 {ClCC contenenti un sistema CO*""^ di curve razionali. 



(2) Il sig. Castelnuovo mi segnalò le dette classi di superficie di genere 1 contenenti lo stesso 

 numero di moduli delle superficie del 4" ordine e ad esse irreducibili. 



