RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 209 



Senza toccare l'interessante questione di assegnare tutti i tipi irreducibili di 

 superficie del genere 1, ci limitiamo qua a risolvere il seguente problema: 



Quando due superficie generali del 4° ordine possono essere riferite punto per punto? 



Si dimostrerà che questo avviene soltanto quando esse sono proiettive. 



Invero si immaginino due superficie generali del 4° ordine riferite punto per 

 punto ; alle sezioni piane dell'una corrispondono sull'altra le co^ curve d'un sistema 

 lineare, le quali se la superficie è generale debbono essere intersezioni complete di 

 altre superficie (1) ; se esse non fossero ancora sezioni piane (cioè se le superficie 

 non fossero proiettive), il sistema co^ suddetto (essendo di genere 3) avrebbe dei punti 

 base multipli e quindi non sarebbe puro : ciò è assurdo perchè in una trasformazione 

 birazionale d'una superficie un sistema puro è sempre mutato in un sistema puro. 

 Dunque : 



Due superficie generali del 4° ordine riferibili punto per punto sono proiettive. 



Si trae pure poiché gli unici sistemi puri sopra una superficie generale del 4° 

 ordine sono quelli segati da tutte le superficie d'ordine n, che: 



Una superficie generale del 4° ordine non è riferibile ad altre superfìcie normali 

 senza curve eccezionali di uno spazio superiore, tranne di ordine 4 r>? nello spazio San^+i 

 (a sezioni iperpianali di genere 2 n^ -[- 1). 



II teorema dato prima per le superficie generali del 4° ordine si estende a quelle 

 generali d'ordine w > 4, sia collo stesso metodo, sia (anche più semplicemente) usando 

 qui del sistema canonico; per modo che si conclude: 



Due superficie generali d'ordine n > 4 fw S3^ si possono riferire biimivocamente solo 

 quando sieno proiettive. 



Il teorema non sussiste per n = 3. 



7. Osservazioni sui resultati contenuti in questo capitolo. — I resultati fondamen- 

 tali di questo capitolo fondati sopra l'esistenza d'un sistema eoH-'^-i aggiunto ad un 

 sistema di genere ir sopra una superficie di genere geometrico p > son fatti di- 

 pendere dalla restrizione K = che si è trovata verificata se esiste un sistema puro 

 semplice (C) tale che b (2 C) = 0. 



Poiché si tratta d'un punto fondamentale nella teoria delle superficie è interes- 

 sante stabilire come la uguaglianza ò (2 C) = segua da quella ò (C) = ove si sappia 

 che la serie caratteristica di (C) è completa. Invero nel seguente capitolo verrà di- 

 mostrato che ogni sistema puro ha la serie caratteristica completa se tale proprietà 

 compete al sistema canonico; sebbene non sembri possa dedursi un tal fatto dalla 

 restrizione già ammessa per la superficie (K = 0), pure il fatto stesso appare così 

 legato alla restrizione medesima per effetto del teorema accennato che vogliamo 

 dimostrare. 



Premettiamo le seguenti considerazioni fondate sullo stesso concetto che ha 

 servito per il lemma del § 2°: 



Sopra una superficie si abbiano due sistemi (C), (K); sia r„la dimensione di (C), 

 r, quella di (C + K), r^ quella di (C + 2 K). 



(1) Cfr. NoETHEH, Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen Baumcurven, § 11, ' Abhandl. 

 d. Akad. d. Wiss. „ Berlin, 1883. 



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