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FEDERIGO ENRIQUES 



Al sistema (C -)- 2 K) appartiene il sistema oo''' costituito da una curva fissa K' 

 di (K) presa insieme con tutte le curve di (C 4" K)) cioè (simbolicamente) il sistema 



(C -L K) + K' : 



parimente se K" è un'altra curva di (K) a (C -|- 2 K) appartiene il sistema 



(C + K) + K"; 



i due sistemi (oo""' ciascuno) hanno comune un sistema di dimensione r„ (cioè 

 (C) -[- K' + K") e però il loro sistema somma ha la dimensione 



> 2ri — r». 



Ora questo sistema è contenuto nel sistema delle curve di (C -|- 2 K) che pas- 

 sano per le D intersezioni delle curve K', K"; se dunque sono Vg le condizioni im- 

 poste dal gruppo K' K" alle curve di (C -|- 2 K) che debbono contenerlo, si ha: 



r«^ 2 >"i — »'o -|- Vo. 



Indichiamo con Vj il numero delle condizioni che il gruppo K'„K" impone alle 

 curve di (C -|- K), e sia r la dimensione di (K) ; allora per Vj — 1 tra i D punti del 

 gruppo K' K" passa una curva di (C -j- K) non contenente tutti i D punti del gruppo, 

 e per r — 2 punti del gruppo medesimo (appartenente alla serie caratteristica ^d"^"^ 

 di (K)) si può condurre una curva K'" di (K) non contenente tutti i D punti, la 

 quale insieme con una curva di (C -{- K) pei detti Vj — 1 punti compone una curva 

 di (C -|- 2 K) non contenente tutto il gruppo K'K"; ne segue che 



V2>Vi-|-r — 2 V2>D— 1 



(l'ultima disuguaglianza valendo nel caso che sia v^ -L '' — 3 > D — 1). Si deduce 



V2>2ri _r„ + Vi + r-2, 



o r2>2/-i— »-„4-D — 1. 



Ora sia (C) il sistema canonico (supposto irreduttibile, con »•„ =p — 1^2), e 

 (K) sia un sistema puro semplice co' di genere n e grado D, la cui serie caratteri- 

 stica sia (per ipotesi) completa ; inoltre il sistema (C -|- K) aggiunto a (K) abbia la 

 dimensione ^J -|-Tr — 1. 



Il gruppo della serie caratteristica completa gi/'^ di (C), impone (pel teorema 

 di Riemann Roch) 



Vi = D — r + 1 



