EICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SDPERFICIE ALGEBRICHE 211 



condizioni alle curve del sistema aggiunto (C -|- K) che debbono contenerla; in questo 

 caso è dunque: 



V2>D-1, (rj=p + n-l), 



e perciò 



r, > 2 (p + TT — 1) — (i? — 1) + D — 1 

 r2>iJ + 2Tr4-D — 2; 

 e poiché 27r-|-D — 1 è il genere tTj di (C -\- K) si ha proprio 



»'2 = P + "2 — 1 



(non potendo essere rg > p -{-'^2 — !)■ 



Dunque (poiché è ora b (K) = b (2 K) ^ 0) si ha il teorema: 

 Se sopra una superficie di genere p > 2 fa sistema canonico irreduttibile) si ha un 

 sistema puro semplice di genere tt avente la serie caratteristica completa, e di cui l'ag- 

 giunto è co^'+'rt— 1 , per ogni altro sistema di genere IT appartenente alla stessa superficie 

 la dimensione del sistema aggiunto è 



i' + n-i, 



cioè la superficie ha il genere geometrico uguale al numerico. 



IV. 

 Sistemi puri. — Estensione del teorema di Riemann-Roch. 



1. La serie caratteristica. — In seguito al teorema del capitolo precedente § 4°, 

 il nostro maggior interesse si rivolge allo studio dei sistemi puri, poiché dalle pro- 

 prietà di questi potranno dedursi quelle di tutti i sistemi impuri ottenuti coll'aggiunta 

 di punti base, non avendo in complesso a superare difficoltà maggiori di quelle che 

 s'incontrano nello studio dei sistemi lineari di curve piane e di una indole non molto 

 diversa. In questo capitolo parlando di un sistema (C) (ove non si avverta espressamente 

 il contrario) intendiamo senz'altro che sia un sistema puro irreduttibile di dimensione 

 > 2 (completo); supponiamo inoltre che la superficie di cui si tratta abbia il genere 

 geometrico uguale al numerico p>0, e intendiamo che il sistema (K) aggiunto a (C) 

 sia semplice, e per ciò basta che sia semplice (C) o il sistema canonico. 



Dato il sistema (C) se ne designerà con ir il genere, con n il grado, con r la 

 dimensione, e diremo senz'altro che (C) ha i caratteri k, n, r. Sia (K) il sistema ag- 



