212 FEDERIGO ENRIQUES 



giunto di (G) (necessariamente puro) e TT, N, R i suoi caratteri. Vi sono curve K di 

 (K) spezzate in una C di (C) ed in una C del sistema canonico (C); una curva ge- 

 nerica C una generica C (poiché (C), (C) son sistemi puri) non hanno punti mul- 

 tipli in punti semplici della superficie (o ipermolteplicità nei punti multipli) dimodoché 

 per la formula di Noether (1) 



n = p(i) -I- 3(tt — 1) — w: 



due curve spezzate ciascuna in una C ed una C si segano come due K in N punti 

 quindi: 



N =^(1) — 1 -1-4(tt— 1) — w; 



si ha poi (Gap. Ili, § 2): 



R = p + TT — 1. 



Si riferiscano ora le curve K del sistema (K) aggiunto a (C) agli iperpiani di 

 Sy+TT—i e si consideri la superficie F cosi trasformata. 



Una curva G sta sulla F in un S^-.i poiché vi sono cop-^ K spezzate in una G 

 ed in una curva canonica, ossia 00"*"^ iperpiani per la G. Invece una curva canonica 

 C' sta in un 8p+,r-2-r, poiché vi sono co' K spezzate in una G' fissa ed in una C. 

 Le curve K ossia gli iperpiani di Sp+5r_i segano sulla G la serie canonica completa 

 (la G è curva canonica in S^r-i). Gonsideriamo gli iperpiani che passano per lo Sp+;r_2-r 

 contenente una G' e la serie che essi segano sopra una curva G; essa viene segata 

 nello Si7-_i della G dagli S;r_2 contenenti l'intersezione dello 8p+-a--2-r di C' e dello 

 Sw-i di G ; essa é dunque completa se i 2 (ir — 1) — n punti comuni alle G, G', in- 

 dividuano l'intersezione dei 2 spazi a cui le G, C', risp. appartengono; se questo non 

 accade, ed i detti 2 (n — 1) — n punti non individuano quella intersezione, ma uno 

 spazio di dimensione minore, la detta serie è invece necessariamente scompleta. Ma 

 allora per la stessa ragione é scompleta (e con un difetto di completezza non mi- 

 nore) la serie che gli iperpiani {Bp+?T-2 ) passanti per la detta intersezione degli spazi 

 di G, G', segano sulla C'. Ora la l'' serie non è altro che la serie caratteristica del 

 sistema (G), la 2^ è quella del sistema canonico (G') (suppostane l'esistenza). Dunque: 



Se la serie caratteristica del sistema canonico è completa, è com.pleta la serie carat- 

 teristica di ogni altro sistema puro (2). 



Nel seguito considereremo per ora soltanto le superficie aventi la serie caratte- 

 ristica del sistema canonico completa (se p > 2). Così su tali superficie ogni sistema puro 

 ha la serie caratteristica completa; ciò accade anche se ^== 1 (cfr. cap. Ili), e se le 

 curve canoniche si compongono di quelle d'un fascio (p > 2) bastando ripetere in 

 questo caso il precedente ragionamento; anche questi casi nei quali non esiste serie 

 caratteristica del sistema canonico sono tra quelli che consideriamo. 



(1) " Aota Mathematica „, 1886. 



(2) n teorema si estenderebbe colla medesima dimostrazione anche ai sistemi impuri che coin- 

 cidono col residuo del canonico rispetto all'aggiunto, notando che una curva eccezionale non ha 

 intersezioni con una curva canonica. 



