RICERCHE DI GEOMETRIA SDLLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 213 



3. Estensione del teorema di Biemann Rock. — Ci proponiamo il seguente problema: 

 Quante curve del sistema aggiunto a (C) passano per un gruppo della sua serie 

 caratteristica, cioè per un gruppo comune a due curve C ? 



Supponiamo dapprima il sistema (C) non speciale (cioè non contenuto nel cano- 

 nico), e consideriamo il sistema (K) aggiunto a (C). Sieno ir w r i caratteri di (C); 

 e riferiamo le curve K agli iperpiani di Sp+^-i in guisa da ottenere una superficie 

 trasformata F, sulla quale (come prima abbiam visto) una C sta in un Sir-i. 



Due arbitrari Str— i contenenti ciascuno una curva C non possono esser conte- 

 nuti in uno spazio a meno òì p -\-n — 1 dimensioni, altrimenti il sistema doppio di 

 (C) (contenente tutte le coppie di curve C) sarebbe contenuto nell'aggiunto (K) di 

 (C) e quindi (togliendo una C da ambedue i sistemi) (C) sarebbe contenuto nel ca- 

 nonico (cioè sarebbe speciale) ; quindi due tali St_i si segano secondo uno spazio 

 Sff-i- j, per il quale passano co-J'~^ iperpiani. Ognuno degli oo^?-^ iperpiani passanti 

 per Sy_i_p passa per gli n punti comuni alle due curve C, quindi per gli n punti 

 passano almeno co^''~' curve K, ed in generale oo^^"^"*"" con lu > 0. 



La quantità \u ha un altro significato notevole; invero poiché gli iperpiani se- 

 gano sulla C una serie completa, quelli passanti per una C segheranno sopra un'altra 

 C una serie il cui difetto di completezza è lu (cfr. § prec.) poiché gli n punti co- 

 muni a due C stanno in un Sw-i-^— a immerso nello S,T_i_p comune ai due S;7-— i che 

 contengono le dette C. 



Ora questa serie è quella che le curve canoniche segano sulla curva C, la quale 

 (poiché (C) è non speciale) è una 5'|,^l_p_„ immersa dunque in una serie completa 

 9lr^-i)-n- ^^ ^^^^ intanto che per il gruppo di punti comune a due curve C d'un 

 sistema non speciale passano 00-?-^+" curve del sistema aggiunto, essendo tu il di- 

 fetto di completezza della serie che le curve canoniche segano sulla C. 



Sia ora (C) un, sistema speciale, e sia r' la dimensione del resìduo (s'intende residuo 

 di esso rispetto al canonico), designeremo la quantità * = r' -)- 1 col nome di indice 

 di specialità del sistema. (Quando « =^ il sistema è non speciale). Allora il doppio 

 di (C) è contenuto nell'aggiunto (K) ed il residuo di questo doppio rispetto a (K) è 

 il residuo di (C) (rispetto al canonico) e quindi è di dimensione r' ; due S^-i conte- 

 nenti ciascuno una C sulla F in S^+tt-i , sono ora immersi in un Sp+^r-i-! e quindi 

 han comune un Stt-i-p+i per il quale passano oo-p~'~'' iperpiani. Quindi si conclude 

 come nel caso precedente che pel gruppo comune a due curve C passano oo"''~'~^"*"" 

 curve del sistema aggiunto, dove uj > è ancora il difetto di completezza della serie 

 segata sopra una C dalle curve canoniche, la quale serie è dunque una ^|,~^jri'> „> 

 (poiché essendo r' la dimensione del sistema residuo di (C) per un gruppo della serie 

 passano 00' = oo'''+i curve canoniche giacché una C fa parte di oo~' curve canoniche) 

 immersa in una serie completa ,9'Sr^^'t". Così possiamo concludere: 



Per un gruppo comune a 2 curve C d\m sistema non speciale, sopra una super- 

 ficie di genere P; passano 2 p -j- uu curve linearmente indipendenti del sistema aggiunto; 

 e se il sistema è speciale coll'indice di specialità i ne passano 2 p — i -j- lU ; la quan- 

 tità ui & è in ambi i casi il difetto di completezza della serie segata dalle curve ca- 

 noniche sopra una curva C (1). 



(1) Il teorema può anche enunciarsi dicendo che in S3 vi sono per una retta 2p-{-tu — i super- 



