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Diremo uu la sovrabbondanza del sistema (C); questa denominazione è intanto 

 giustificata dal fatto che per ^ = (quindi anche « = 0) la m è la ordinaria sovrab- 

 bondanza dei sistemi lineari di curve piane (1) (supposta la superficie razionale) ; ma 

 la denominazione stessa verrà meglio giustificata quando considereremo il sistema (C) 

 come segato da superficie aggiunte sopra una superficie in S3 ed esamineremo la 

 differenza fra la sua dimensione effettiva e quella virtuale data dalle formule di postu- 

 lazione di Noether. 



D'ora innanzi parlando di un sistema dovremo considerare insieme ai caratteri 

 TT, r, n già definiti anche la sua sovrabbondanza uj ; se uu = diremo il sistema re- 

 golare. I caratteri ti, r, n, uu (ed i, cioè l'indice di specialità, se si tratta d'un sistema 

 speciale) di un sistema (C) sono legati da una relazione nella quale figura il genere 

 ^ della superficie. Invero sopra una curva C la serie caratteristica g''~^ (che è com- 

 pleta), è residua di una serie completa g\^^^■^^ZÌ^ ^ cui appartiene quella gl^Jjl-n 

 segata dal sistema canonico, quindi per il teorema di Riemann Roch si ha 



Tc — 1 — n A- r =^ p -\- \u — i 



dove è i = se (C) è non speciale. 



Questa relazione dà un'estensione alla superficie (e per ora soltanto pei sistemi 

 puri) del teorema di Riemann Roch relativo alle serie lineari appartenenti alle curve 

 algebriche. Si può enunciare il resultato sotto la forma seguente: 



Per un sistema puro non speciale di caratteri tt, r, n, un si ha: 



TT — 1 — n -\- r =:^ p -\- ns (2). 



Se un sistema speciale puro di caratteri ir, r, n, uu ha un sistema residuo di di- 

 mensione r' si ha: 



r' ^^ p — TT-f-w — r-|-uu (3). 



fioie linearmente indipendenti d'ordine n — 3 aggiunte ad una d'ordine n e genere p, quando le 

 sezioni piane appartengono ad un sistema (puro) d'indice di specialità i e sovrabbondanza u>, essendo tu 

 il difetto di completezza del sistema delle curve d'ordine n — 4, segato sopra un piano dalle ag- 

 giunte d'ordine n — 4. 



(1) Cfr. Castelnuovo, " Accademia di Torino, Memorie ,, 1891. 



(2) Enunciando questo resultato sotto forma proiettiva si ha 1' estensione del noto teorema di 

 Clifford per le curve (' Phil. Transaotions „, 1878). 



(3) Non si creda che possa prendersi sempre in queste formule uj = 0. Basta per ciò considerare 

 gli esempi seguenti: 1° il sistema segato dalle quadriche sopra la superficie del 5° ordine dotata 

 di un punto triplo; 2° il sistema segato dei piani sulla superficie del 7° ordine con due punti tripli 

 ed il residuo segato dalle quadriche per i due punti. 



11 2" teorema sotto la forma 



r' '^ p — ir + « — )• 



è stato dato dal sig. Noether (" Comptes rendus ,, 1886) con una dimostrazione non differente da 

 quella qui usata: mancano solo là le restrizioni da noi introdotte, che appariscono necessarie per 

 dimostrare come la serie caratteristica di un sistema (C) sia completa (ciò che viene omesso), ed 

 il teorema appare qua completato essendosi assegnato il significato di tu. 

 I due teoremi enunciati vengono poi estesi anche ai sistemi impuri. 



