RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 215 



3. Sistemi speciali residtii uno dell'altro. — La relazione precedentemente trovata 

 permette di esprimere in funzione dei caratteri di un sistema speciale la dimensione 

 del residuo, nell'ipotesi che il dato sistema sia puro; la restrizione stessa è in ge- 

 nerale soddisfatta quando si considerano due sistemi residui uno dell'altro di dimen- 

 sione > 2 in relazione reciproca (C), (C). 



Siene (C), (C) due sistemi puri residui uno dell'altro (di dimensione > 2), espri- 

 miamo tutti i caratteri rr', »•', n', uu' dell'uno (C) in funzione di quelli n, r, n, ui del- 

 l'altro (C), viceversa. 



Sia al solito •jf-'' il 2° genere della superficie, e sia D il numero dei punti comuni 

 ad una curva C ad una C. Poiché il sistema canonico è la somma di (C), (C) usando 

 di note formule già adoperate, si ha: 



_p(l) =: TT + n' + D — 1 



(2^(2) =) j5(i) —1 = w -I- „' + 2D, 

 e, poiché una curva canonica incontra una C in 2(Tr — 1) — n punti, 



2w + D = 2(tt — 1). 

 Mediante l'ultima relazione eliminando D si deduce 



D = 2(iT — 1) — 2w 

 p(i) = 3(Tr — 1) -f tt' — 2w 

 ^(1) _ 1 = „' 4- 4(tt — 1) — 3w; 

 siccome poi sottraendo segue 



n TT = w' — Tt' 



e si ha 



r -\- r' =^ -p — t: -(- w -|- lu = |j — ■^' -\- n' -\- ^\ 



così si deduce: 



uj' = tu'. 



Dunque: Fra i caratteri n, r, n, uj, tt', r', n', lu', dei due sistemi speciali (puri), (C), 

 (C) residui uno dell'altro, di dimensione > 1, sussistono le relazioni 



r' =^ p — TT -j- M — r -)- tu 

 ti' = pd) — 3(k — 1) -}- 2m 

 n' = ^(1) — 1 — 4(ti — 1) 4- 3w 

 uj' = u) [n — TT = m' — tt'). 



