218 FEDERIGO ENRIQUES 



A questa questione rispondono i risultati precedenti. Infatti quando uniamo la 

 C al gruppo base delle Vn-s-i-i, e vogliamo calcolare l'effetto prodotto sulle formule 

 di postulazione, noi veniamo in sostanza a considerare la serie g^ segata da tutte 

 le ^n-i^i sulla C (di genere ir') come completa e non speciale, ed allora la sua di- 

 mensione vien data dal teorema n — A ^ tt' ; il numero p cosi calcolato è la dimen- 

 sione virtuale di (C), ed in base al calcolo precedente (poiché il trinomio (tt — 1 — w -(- P 

 non differisce dall'analogo calcolato per il sistema regolare non speciale segato dalle 

 ^n-z+i) si ha: 



TT — l — n -\- p ^^ p. 



Se vogliamo la dimensione effettiva r dobbiamo introdurre la differenza 6 fra 

 il difetto di completezza e l'indice di specialità della serie che le Hin-3+i (ossia le 

 curve del sistema regolare non speciale che esse segano sulla superficie) segano sulla 

 C, e si avrà: 



r = p + e, 



dove e = ai — i; cioè si avrà appunto come abbiamo trovato 



TT — 1 — j2-j-r=j;-|-UJ — i. 



Concludiamo : 



La dimensione p (virtuale) di un sistema puro (C) calcolata facendo segare il sistema 

 (C) da superficie aggiunte d'ordine > n — 4 sopra una superficie d'ordine n {in S3) priva 

 di curve eccezionali, è un carattere invariantivo del sistema (C) e coincide colla dimensione 

 effettiva se il sistema è regolare non speciale, in modo che si ha: 



TT— 1 — n -\- p ^^ p. 



La differenza (lu — i) fra la sovrabbondanza e l'indice di specialità di (C) è uguale 

 aliti differenza (r — p) tra la dimensione effettiva e quella virtuale del sistema stesso. 



Così la denominazione di sovrabbondanza data alla quantità tu (definita nel § 2) 

 appare pienamente giustificata. Di più è interessante notare che il teorema stabilito 

 sussiste indipendentemente dalla completezza della serie caratteristica del sistema cano- 

 nico (1) (da cui segue quella di (C) ) e quindi anche prescindendo da quella ipotesi si 

 ha la relazione: 



■n. — 1 — w-|-r=^-[-uj — i 



dove la sovrabbondanza uj è definita dalla uguaglianza 



uj — i = r — p. 



Solo non risulta così che sia sempre uj > come si è riconosciuto sotto la pre- 

 cedente restrizione, ma questo resultato sarà stabilito nel successivo § al di là di 

 un certo limite per r. 



Il teorema stesso si estende ai sistemi impuri (C) normali, dedotti da (C) coll'ag- 

 giunta di s punti base di molteplicità hi, h2 . . . h,; infatti i caratteri n', n', r', uj', i' di (C) 

 si esprimono per quelli di (C) mediante le formule: 



(1) Infatti nel dimostrarlo non si è tenuto conto di quella ipotesi. 



