RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 219 



„' = ^ _ Z 'ii^, n' = n- J.h\ r' ^ . - Z ^i^> + 6 



(dove 6 > è il numero dei legami tra i detti punti base) dimodoché risulta 



tt' — 1 — w' -j- r' =^ TT — 1 — n + r -|- 0; 



d'altra parte i' = i (poiché (C) e (C) hanno lo stesso sistema residuo) e la dimen- 

 sione virtuale p' di (C) vale 



sicché si conclude: 



Tt' — 1 — w' + r' = ^ + uj' — j' (tu' = tu + e) (1). 



Ora é opportuno rilevare una differenza peculiare che si presenta fra lo studio 

 delle serie complete lineari di gruppi di punti sopra una curva e quello dei sistemi 

 lineari di curve sopra una superficie. Nella geometria sulle curve di genere ir si 

 presentano accanto alle serie gì non speciali la cui dimensione è data dal teorema 

 n — >• = 7T quelle speciali la cui dimensione é, per così dire, superiore a quella vir- 

 tuale, quindi per una gì completa il binomio n — r, che di regola può considerarsi 

 uguale al genere ir della curva sostegno, non supera mai questo genere tt, ed è 

 n — r < K solo quando la gì è contenuta in una data serie (la canonica g^f^^^i)- Nel 

 piano la dimensione di un sistema lineare normale può superare quella virtuale (se 

 vi sono legami tra i punti base), ma non può esserle inferiore; per così dire una sola 

 causa perturbatrice opera anche qui in un solo senso sulla dimensione del sistema, 

 ma a differenza di quel che avviene sulle curve la causa perturbatrice non cessa 

 con lo elevarsi dalla dimensione del sistema (ma solo coll'elevarsi della dimensione 

 in confronto al genere). 



Sulle superficie, di genere qualunque, vi sono in generale due cause perturba- 

 trici opposte per le quali la dimensione effettiva può differire dalla virtuale; l'una 

 dipende dall' esser il sistema contenuto nel canonico ed opera quindi limitatamente 

 (come per le curve, ma in senso opposto), l'altra opera invece (come vedremo) su 

 sistemi comunque elevati (come nel piano) ed è legata (pure come nel piano) alle 

 curve fondamentali del sistema (2). Per ciò la opportunità di dare due nomi diversi 

 (sovrabbondanza e indice di specialità) ai caratteri modificateri della dimensione che 

 provengono dalle due cause nominate, giacché introducendo soltanto la loro diffe- 

 renza (uj — « = r — p) si avrebbe un termine correttivo algebrico, ma si presenterebbe 

 allora come regolare un sistema speciale sovrabbondante in cui uu = «^ un sistema 

 cioè che (dal punto di vista geometrico) apparisce doppiamente irregolare. 



(1) Pei sistemi di curve piane sussiste pure la relazione u — 1 — m-)-r = uj (^ = 0;« = 0) con- 

 tenuta essenzialmente nel teorema del sig. Seghe (' Circolo Mat. di Palermo „, t. I) o in quello del 

 sig. Castelnuovo (' Aocad. di Torino, Memorie „, 1891, pag. 24). 



(2) Così anche segando sopra una superficie un sistema mediante le superficie per una curva, 

 l'errore nell'applicazione delle formule di postulazione dipende dall' esser scompleta o speciale la 

 serie che le superficie postulabili segano sulla curva. 



