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5. Un teorema sulla sovrabbondanza. — Per un sistema puro o impuro (C) di 

 caratteri ir, r, n, w, i, sopra una superficie di genere p, siamo pervenuti alla relazione 



TT — 1 — n -\- r -^^ p -\- ui — i, 



0, introducendo la dimensione virtuale p, all'altra 



n — 1 — n -{- p = p, 



ed abbiamo visto che uj > supponendo che la serie caratteristica del sistema ca- 

 nonico fosse completa, poiché di là abbiamo dedotto che la serie caratteristica di 

 un sistema puro doveva pure esser completa; si sono esclusi soltanto i sistemi im- 

 puri dedotti coll'aggiunta di punti base da un sistema con soli punti base semplici 

 coincidente col residuo del canonico rispetto al suo aggiunto (anziché puro), ma anche 

 per quelli sarebbe facile dimostrare come sussista la relazione precedente lievemente 

 modificata (aggiungendo al grado il numero dei detti punti base semplici). 



Quando non si sa nulla circa la completezza della serie caratteristica del sistema 

 canonico e quindi del sistema puro da cui (C) é dedotto, rimane incerto il segno 

 di UJ, che soltanto può asserirsi essere non minore della sovrabbondanza del corri- 

 spondente sistema puro. 



Vediamo cosa possa dirsi del segno di uj prescindendo dalla detta ipotesi ; pos- 

 siamo supporre (senza restrizione), che (C) sia un sistema puro (di caratteri ir, n, r, 

 UJ, i); indichiamo con (K) l'aggiunto a (C) di caratteri TT, N, R, Q (1=^ 0). 



Secondo quel che abbiamo dimostrato, se é G il difetto di completezza della 

 serie 5'f^^7)^~i*!^},Li segata da (K) sopra una curva canonica (generica) C diminuito 

 dell'indice di specialità della medesima serie g, sussiste la relazione 



TT— 1— N + E = Tt — 1— w + r — uj-|-i:=TT — 1 — w-j-r — e(=p): 



poiché i > se anche 9 > segue necessariamente uj > 0. 



Basta dunque perché si possa concludere che uj > 0, sapere che la serie g se- 

 gata da (K) sulla C é non speciale, come ad esempio se 



2(Tr _ 1) _ w > pW _ 1. 



Ì3 notevole il fatto che questa circostanza può essere accertata soltanto col prén-- 

 dere r abbastanza grande. Appunto la determinazione di questo limite per r forma 

 l'oggetto di questo §. 



Per ciò che abbiamo notato alla fine del § 1 si può supporre qui che sia p> 2 

 e che il sistema canonico sia irreduttibile. 



Supponiamo dapprima che il passaggio per un punto di una curva canonica 

 tragga di conseguenza il passaggio di essa per un altro punto coniugato della detta 

 curva supposta iperellittica j allora (secondo Noether) (1) è 



2p — 2 =^(1) — 1. 



(1) ' Math. Ann. „, Vili. 



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