RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 221 



Sia (C) un sistema puro di dimensione 



2 • 

 Se (C) è speciale deve essere 



r =p — 1 



e però (C) è il sistema canonico per il quale lu = 0. 



Se (C) è non speciale {i = 0), ma contiene il sistema canonico, la serie segata 

 dall'aggiunto (K) sulla curva canonica C è non speciale o è (forse) la serie cano- 

 nica; nel 1° caso lu > 0; il 2° caso è impossibile giacché (C) conterrebbe totalmente 

 il sistema canonico (poiché la C e la C hanno p'" — 1 punti comuni) e quindi avrebbe 

 lo stesso grado di esso (cap. I) mentre esso è normale (anzi completo). Infine se (C) 

 non contiene il sistema canonico pur essendo non speciale, la serie segata da (C) 

 sulla C è una serie g di dimensione r e però (secondo un noto teorema di Clifford) 

 di grado > 2r, cioè di grado > p'" — 1 ; ma la serie g potrebbe avere soltanto il 

 grado 2 r se fosse r = y — 1, quindi la detta serie ha il grado > ^'^' — 1; ne 

 segue che l'aggiunto (K) di (C) sega sulla C una serie di grado > 2 p'^' — 2 e quindi 

 non speciale, ed in conseguenza è 



lu > 0. 



Suppongasi invece che il sistema canonico sia semplice; allóra è (sempre secondo 

 Noether) : 



2j) — ' 2 < _p(i) — 1 



(anzi, secondo Castelnuovo (1) y^'>3p — 6); perciò se la dimensione r di (C) sod- 



jj(i) — 1 



disfa alla disuguaglianza 



r > 



2 • 



si ha r > p — 1 ossia (C) è non speciale, e col ragionamento precedente segue 



uj > 0. 

 Dunque: 



Pur prescindendo dalla completezza della serie caratteristica del sistema canonico, 

 per ogni sistema lineare appartenente ad una superficie di 2° genere p'^', avente una 



la sovrabbondanza 



w > 0, 



(e se il sistema fion è il sistema canonico esso è non speciale, sicché n — 1 — n ^ r > p). 



(1) ' Istituto lombardo „ 1891 (Nota H). 



