RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 223 



Questa deduzione (importa notarlo) è fondata sull'ipotesi fatta che il sistema (C) 

 residuo di K rispetto a (C) abbia solo punti base distinti, e quindi i tangenti varia- 

 bili in un punto iplo. 



2. Una relazione fra i caratteri d'un sistema, il genere d'una sua curva fondamen- 

 tale ed i caratteri del residuo. — Se una curva K è comunque composta con parti 

 irreduttibili distinte Cj . . . C, di generi tci, tt, . . . tTs, e se C,, Cp hanno irf punti 

 comuni, il genere della cui'va composta è (secondo Noether) 



IT = TTi -|- TTq + ... + TTj -|- Tiri: — S + 1 



dove la Z va estesa a tutte le combinazioni di valori diversi r e p (come già ab- 

 biamo avuto occasione di ricordare). 



La curva K = Cj -(- C2 -f- . . . -|- C, sia una curva fondamentale per il sistema 

 (C) (nella quale per convenzione sono incluse tutte le componenti, anche punti, che 

 si staccano da (C) quando si stacca una componente); i generi iti, TUg . . . tt, sieno 

 calcolati prescindendo dalle molteplicità delle curve Cj, C2 . . . C, fuori dei punti 

 base di (C), inoltre il genere di un punto h pio (componente K) sia come quello della 

 curva razionale d'ordine i che gli corrisponde sulla superficie su cui gl'iperpiani se- 

 gano le curve C residue di K rispetto a (C). Diremo TT il genere della curva fonda- 

 mentale K di (C), che non ha (per ipotesi) componenti multiple; calcolato in base alle 

 convenzioni precedenti. 



Sieno TT, r, n, 6 i caratteri di (C), tt', r', n' , 6' quelli del residuo (C) di K. Una 

 curva composta C -f- K ha (per il teorema del § precedente) le stesse molteplicità 

 d'una curva generica C nei punti base di (C); allora se indichiamo con i il numero 

 delle intersezioni variabili della K con una C cioè (come diremo) il grado della K, 

 si avrà: 



n = tt' + n -f i — 1 ; 



d'altra parte se si fan segare le curve C da iperpiani, il punto che viene a cor- 

 rispondere a K sulla superficie trasformata è iplo per quella superficie, quindi 



n ^^ n' -\- i 



(infatti nel numero i sono comprese le intersezioni che una C ha con ogni compo- 

 nente di K ed in particolare anche coi punti che risultano hpli per (C)). 

 Si deduce: 



Tt — 1 — w + r = tt' — 1 — w' + r' -(- n; 



ma 



quindi 



TT — 1 — n -\^ r ^:= p -\- Q 

 tt' — 1 — w' + r' = ^ + e', 



e = e' + n. 



