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Dunque si può enunciare il teorema; 



Se il sistema (C) possiede una curva fondamentale K di genere TT (priva di com- 

 ponenti multiple), ed avente come residuo il sistema (C), fra i caratteri 9, 9', dei sistemi 

 (C), (C) sussiste la relazione 



9 — 9' = n 



(ossia u) — j --((«'— i') = TT)- 



3. Sistemi regolari. — Suppongasi in questo § che se il sistema canonico è irre- 

 duttibile con p > 2, la sua serie caratteristica sia completa; i resultati piti restrittivi 

 a cui si perviene prescindendo da questa ipotesi si stabiliranno facilmente in modo 

 analogo riferendosi al cap. IV, § 5. 



La relazione stabilita nel precedente § stabilisce un interessante legame fra la 

 sovrabbondanza d'un sistema ed i generi delle sue curve fondamenta,li quando p. es. 

 il sistema residuo delle curve fondamentali sia non speciale, e perciò basta che la 

 sua dimensione sia > p — 1, o il suo grado > j?'" — 1. Noi vogliamo trarre da 

 quella relazione alcuni utili corollari. 



Se un sistema (C) di dimensione > p ha una curva fondamentale K di genere TT, 

 il residuo (C) ha la dimensione > p — le quindi è non speciale; allora i carat- 

 teri 9, 9', di (C), (C) sono le loro sovrabbondanze uj, lu' (sempre positive); in questo 

 caso la relazione precedente ci dà: 



uj >n. 



Di qui il corollario: 



Un sistema regolare di dimensione > p non ha curve fondamentali di genere > 0. 



Per trarre la deduzione enunciata bastava conoscere in qualsiasi modo la non 

 specialità di (C), e quindi sapere per es. che il suo grado è > j?''' — 1 ; per ciò 

 basta che il grado di (C) superi p'" — 1 aumentato del grado di K. 



Di qui il teorema: 



Se un sistema regolare (C) ha tma curva fondamentale K, tale che il grado di (C) 

 supera il grado di K aumentato di p'^' — 1, la curva fondamentale K è di genere 0. 



Se un sistema regolare ha una curva fondamentale di genere TT, il residuo (C) 

 ha il carattere 



9' = 9 — n, 



ma 



9 = u) — i, UJ = 0, 



e quindi 9 < 0, sicché 9' < — TT; ora 



e' = tu' — i' (uj' > 0), 

 quindi 



i' — uj' > TT, i' > n. 



Dunque : 



Se un sistema regolare ha una curva fondamentale di genere "H, il residuo è spe- 

 ciale con un indice di specialità maggiore del precedente almeno di TT. 



