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e si supponga che (C) e quindi {{m-\-l) C) sia puro. Esse segano su quelle di (C -|- K) 

 (sezioni piane della F) un gruppo canonico, e quindi sono segate da una superficie 

 Vd-3 aggiunta alla F (supposta d'ordine D) salvo forse nei punti multipli (cfr. capi- 

 tolo II, ni), e poiché i punti dpli della F sono ~ J pli per la curva doppia 



la Vd-3 ha la molteplicità d — 2 (almeno) in un punto dplo e quindi è aggiunta 

 alla F. Ne segue che il sistema {{m -[- 1) C) è aggiunto a (C -[- K) e però è regolare 

 capitolo IV, § 4). 



Dunque : 



Per m assai grande il multiplo (m C) del sistema puro irreduUibile (C) non dotato 

 che di curve fondamentali irreduttibili di genere 0, è regolare. 



5. Sulla postulazione d'una superfìcie di S, rispetto alla varietà d'ordine m. — Si 

 abbia in S, una superficie F non dotata di curve eccezionali, ed avente soltanto punti 

 multipli a cono osculatore di genere 0. Quante varietà V„ (linearmente indipendenti) 

 d'ordine m contengono la F in S,? 



Se le sezioni ipei-pianali della F segano sulla F oo' curve appartenenti ad un 

 sistema (C), le V,„ segano sulla F curve appartenenti al sistema {in C). 



Indichiamo con Tr„, w„„ »•„ i caratteri del sistema normale {m C) ; (nj = n, ni = n); 

 abbiamo allora le relazioni: 



■rim = TT,^i -\- n -\- {m — 1) n — 1 



n,n = Wm_i -f- 2(m — 1) w + w 

 e quindi 



m -\- 1 



1 m im — 

 Tr,„ — mn -| 1- 



^n 



Wm = m^n: 





al crescere di m la dimensione di [m C) cresce oltre ogni limite (e quindi oltre ^— „ — ) , 

 di guisa che come nel § precedente si deduce che in ogni caso la sua sovrabbon- 

 danza (ai„ > 0) è = 0; perciò quando m è assai grande, 



>•». = p i 2 '"' ~ "* ^ "~ -'^^• 



Se indichiamo con 



Nm = ("'+'■) — 1 



la infinità delle V„, per ogni curva sezione della V„ colla F passano oo^'"'"'""', V^ e 

 perciò la postulazione della superficie rispetto alle V„, è 



^ rm -\- l = p -\ '—^ — - w — w (ir — 1) + 1; 



dove vale il segno = se (come avviene, si può dire , nel caso generale) il sistema 



