RICERCHE DI GEOMETRIA SDIXE SDPERFICIE ALGEBRICHE 227 



segato dalle V„ su F, per m assai grande, è completo (e per ciò, poiché esso è puro, 

 basta che sia normale). 



Dunque, per la superficie F di S, passano (per m assai grande) 



T ^ -NT m {m -\- 1) 1 / , , 



L < Nm — p ^-"2 ■ n -\- ni [n — 1) 



varietà V™ linearmente indipendenti. 



Facciamo ora una breve digressione determinando il numero delle quadriche di 

 Sr passanti per una superficie F a sezioni normali (sulla quale non si fa nessuna 

 altra ipotesi). 



Se per la F di S, passa una quadrica la sezione iperpianale Cjr di Fé gli n 

 punti sezione d'un Sr_2 stanno pure sopra una quadrica (risp. in Sr-i e in S,_2}. Sup- 

 pongasi ora che gli n punti sezione della F con un Sr_j sieno sopra una quadrica q; 

 in un Sr_i per lo Sr_2 le quadriche Q per q sono co' e segano sulla Cjr la serie (com- 

 pleta) segata dagli iperpiani (<//"'), quindi vi è una ed una sola quadrica Q per la q 

 contenente la curva Cjr ; in modo analogo può costruirsi un'altra quadrica Q' conte- 

 nente la sezione C'jr della F con un altro S,_i per lo S,._2, e contenente pure la q; 

 ora le due quadriche Q, Q' risp. appartenenti ai 2 Sr-i ed aventi comune la sezione q 

 con un Sr_j, appartengono ad un fascio di quadriche f in S, ; la quadrica f del fascio 

 contenente un punto fissato ad arbitrio sulla F, contiene quindi la F, poiché ne con- 

 tiene già due sezioni iperpianali. Ora giacché ogni quadrica per la F sega un Sr_i in 

 una quadrica contenente la sua curva sezione, e vi è una quadrica determinata che 

 contiene la F passante per una quadrica che contiene una sua sezione iperpianale, 

 si conclude: 



, Il numero delle quadriche linearmente indipendenti, che contengono una superficie 

 qualunque a sezioni normali di S,, è uguale a quello delle quadriche in S^-i che con- 

 tengono una sua sezione iperpianale, o di quelle in Sr_2; che contengono il gruppo di 

 punti sezione della superficie. 



6. Curve fondamentali di genere 0. — Abbiamo già avuto occasione di notare 

 (§ 4) che alle curve fondamentali di genere d'un sistema lineare (C) corrispondono, 

 sulla superficie F di Ss di cui le oo^ sezioni piane sono curve C, punti multipli che non 

 impongono condizioni alle superficie aggiunte e però non esercitano influenza sul ge- 

 nere; a questo fatto si collega l'altro che tali curve non hanno effetto sulla sovrab- 

 bondanza del sistema (C). Una analisi più minuta di siffatte curve fondamentali porta 

 alla conseguenza che esse (a differenza delle curve fondamentali di genere > 0) sono 

 più intimamente legate alla natura della superficie, che a quella del sistema (C) che 

 su di essa si considera. 



Il caso più semplice é quello delle curve fondamentali di grado 2, le quali ven- 

 gono ad essere rappresentate da punti doppi isolati (non eccezionali) (1) sulla super- 

 ficie F di S3 (di cui le sezioni piane appartengono al sistema (C)), sulla superficie 

 normale F' ottenuta facendo segare dagli iperpiani d'un iperspazio tutte le curve C. 



(1) Poiché si è esclusa la considerazione delle curve fondamentali coatituite da coppie di punti. 



