228 FEDERIGO ENHIQDES 



Se w è l'ordine della F, le superficie v(j„ 4 d'ordine n — 4 aggiunte alla F, se- 

 gano su di essa il sistema canonico: non può darsi che tutte passino per un punto 

 doppio della F non eccezionale, e però ad un tal punto doppio corrisponde un punto 

 doppio della superficie canonica su cui le curve canoniche sono segate dagli iperpiani 

 (supposto semplice il sistema canonico, p > 3). 



Viceversa un punto doppio della superficie canonica dà una curva fondamentale 

 di grado 2 per im sistema (C) che, su di essa, non ha il punto doppio come punto base. 



Concludiamo : 



Una superfìcie in S3 può acquistare per trasformazione tanti punti doppi isolati non 

 eccezionali quanti sono i punti doppi isolati della corrispondente superficie canonica. Il 

 numero di questi punti doppi è un nuovo carattere invariantivo per le superficie di ge- 

 nere p > 3. 



Il resultato precedente si esprime sotto forma invariantiva dicendo: 



Sopra una superficie un sistema lineare (C) non può avere altre curve fondamentali 

 di grado 2 tranne quelle che sono tali pel sistema canonico. 



Consideriamo ora una curva fondamentale irreduttibile di genere e di grado i 

 pel sistema (C): si facciano segare co^ curve C sulla superficie F dai piani di S3, e 

 supponiamo (per semplicità) che la F sia solo dotata di curva doppia. Alla curva 

 fondamentale per (C) corrisponde sulla F un punto iplo a cono osculatore razionale^ 



per il quale passano quindi (come già abbiamo notato al § 4) ^ rami della 



curva doppia. Se w è l'ordine della F, le Vn-4 (d'ordine n — 4) aggiunte ad essa hanno 

 il detto punto come [i — 2) pio, come conseguenza del contenere la curva doppia 

 della F ; una curva canonica ha dunque un tal punto come {i — 2) pio (essendo i — 2 

 ^ i {i — 2) — {i — 1) (i — 2) ) ed ivi ha le i — 2 tangenti variabili giacche il sistema 

 canonico non ha punti base. Dunque ad un tal punto corrisponde una curva razio- 

 nale d'ordine i — 2 sulla superficie canonica. 



Concludiamo : 



Le curve fondamentali di genere e di grado i per il sistema lineare (C), corrispon- 

 dono a curve d'ordine i — 2 sulla superficie canonica. 



Così si vede che ad una superficie appartengono 3 categorie di curve razionali 

 che corrispondono ai punti doppi della superficie canonica, alle sue curve razionali, 

 e ad i suoi punti (le curve eccezionali) ; le prime due categorie forniscono caratteri 

 invariantivi della superficie; invece le curve della 3=^ categoria sono in numero arbi- 

 trario poiché se ne crea quante si vuole con trasformazioni della superficie. 



