RICEKCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 229 



VI. 

 Le involuzioni. 



1. Estensione d'un teorema di Castelnuovo. — Relazione fra i secondi generi di due 

 superficie in corrispondenza [1 ni\. — Rivolgiamoci ora ad un breve studio dei sistemi 

 lineari (C) in cui il passaggio per un punto trae di conseguenza il passaggio per altri 

 punti della superficie. 



Lasciamo da parte, come non offrente interesse, il caso in cui le curve C (di (C)) 

 si spezzino in quelle di un fascio ; allora (cap. I, § 1) le curve C che passano per 

 un punto Oj passeranno in conseguenza per un numero finito di punti Og, O3 . . . 0„, 

 ed i gruppi analoghi ad Oi, Oj . . . 0^ formano un'involuzione I^, cioè una serie 00^ 

 di gruppi di m punti tale che un punto generico della superficie determina un gruppo 

 della serie. Lo studio del sistema (C) (che abbiamo denominato appartenente all'invo- 

 luzione Im) si annoda strettamente allo studio dell'involuzione. Ad ogni involuzione 

 appartengono sistemi (C) come ora facilmente vedremo. 



Si riferiscano biunivocamente i gruppi della !„ (elementi di una varietà co^) ai 

 punti d'una superficie F'; ad un sistema (C) di F' corrisponde su F un sistema (C) 

 appartenente all'involuzione I„. La F' ossia l'involuzione I„ abbia il genere geometrico 

 p > (1); allora possiamo fissare come sistema (C) quello delle sezioni piane di F' 

 che supponiamo avente curve fondamentali distinte come il suo corrispondente su F, e 

 possiamo considerare una curva canonica K' (completata colle curve eccezionali della 

 F') la quale è definita dal segare un gruppo residuo della serie caratteristica sulla 

 curva generica di (C) ed un gruppo contenuto nella serie analoga sulla curva generica 

 di ogni sistema co^ contenuto in (C) (cap. E, § 2). Sia K la curva corrispondente alla 

 E' sulla F, H la curva di coincidenza della involuzione I„ (luogo dei punti in cui ne 

 coincidono due di un gruppo di !„) e sieno le C le curve corrispondenti su F alle 

 C di F'. Una curva composta K -j- C -f- H sega sopra una curva generica C un 

 gruppo che è il trasformato di un gruppo canonico di C aumentato del gruppo delle 

 coincidenze dell'involuzione i cui gruppi corrispondono ai punti di C, quindi per un 

 teorema di Castelnuovo (2) il detto gruppo è un gruppo canonico della C, ossia la 

 curva K -|- H sega sulla curva C un gruppo residuo della serie caratteristica di (C); 

 parimente si prova che la K -[- H gode l'analoga proprietà rispetto ad ogni sistema 

 00^ contenuto in (C) (come rispetto ad ogni altro sistema appartenente alla I„), dunque 

 sussiste il teorema: 



(1) Non imponiamo ne per la F ne per la F' alcuna restrizione di uguaglianza del genere geo- 

 metrico al numerico. 



(2) Alcune osservazioni sulle serie irrazionali, ecc. {' Accad. dei Lincei ,, 1891). 



